Data l'ellisse di equazione $25·x^2+9·y^2=225$, scrivere l'equazione della curva simmetrica rispetto alla retta s: y - x - 2 = 0

Le equazioni di trasformazione per una simmetria rispetto all'asse y= m·x + q sono: $\Sigma :\{\begin{array}{c}x\text{'}=\frac{1-m^2}{1+m^2}x+\frac{2m}{1+m^2}y-\frac{2\mathrm{mq}}{1+m^2}\\ y\text{'}=\frac{2m}{1+m^2}x-\frac{1-m^2}{1+m^2}y+\frac{2q}{1+m^2}\end{array}$

In questo caso: m= 1 e q= 2. Da cui, sostituendo: $\Sigma :\{\begin{array}{c}x\text{'}=\frac{1-1^2}{1+1^2}x+\frac{2·1}{1+1^2}y-\frac{2·1·2}{1+1^2}=y-2\\ y\text{'}=\frac{2·1}{1+1^2}x-\frac{1-1^2}{1+1^2}y+\frac{2·2}{1+1^2}=x+2\end{array}$

La trasformazione inversa è: ${\Sigma }^{-1}\{\begin{array}{c}y=x\text{'}+2\\ x=y\text{'}-2\end{array}$.

Sostituendo le coordinate x e y nell'ellisse data si trova l'ellisse trasformata: $25·{\left(y\text{'}-2\right)}^2+9·{\left(x\text{'}+2\right)}^2=225\to 25·{y\text{'}}^2+100-100·y\text{'}+9·{x\text{'}}^2+36+36·x\text{'}=225\to$

$\to 9·{x\text{'}}^2+25·{y\text{'}}^2+36·x\text{'}-100·y\text{'}-89=0$