Date le equazioni della trasformazione $\{\begin{array}{c}x\text{'}=-2x+3\\ y\text{'}=2y-10\end{array}$verificare che si tratta di una similitudine

e individuare due trasformazioni la cui composizione sia la similitudine data.

Una similitudine può essere composta con una omotetia e una isometria. In generale con una omotetia con centro (x₀, y₀) e una rotazione con centro (0,0).

La generica omotetia con centro (x₀, y₀) ha equazioni: $\Omega :\{\begin{array}{c}x\text{'}=\mathrm{kx}+x_0\left(1-k\right)\\ y\text{'}=\mathrm{ky}+y_0\left(1-k\right)\end{array}$

La generica rotazione con centro (0,0) ha equazioni : ${\rm P}:\{\begin{array}{c}x\text{'}=x·\cos \alpha \mp y·\sin \alpha \\ y\text{'}=x·\sin \alpha \pm y·\cos \alpha \end{array}$ dove il segno superiore è per le rotazioni dirette (senso antiorario) e il segno inferiore per le rotazioni inverse (senso orario).

La generica similitudine ha equazioni: $\Sigma :\{\begin{array}{c}x\text{'}=\mathrm{ax}+\mathrm{by}+e\\ y\text{'}=\mathrm{bx}-\mathrm{ay}+f\end{array}$.

Nel caso in esame a= -2, b= 0, e= 3 ed f = 10 e si riconosce che è una similitudine inversa dato che $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=-4$

Per questo motivo la rotazione necessaria deve essere inversa: ${\rm P}:\{\begin{array}{c}x\text{'}=x·\cos \alpha +y·\sin \alpha \\ y\text{'}=x·\sin \alpha -y·\cos \alpha \end{array}$

Ora vengono composte le trasformazioni, prima la rotazione e poi l'omotetia, :

$\Sigma =\Omega °{\rm P}$: $\{\begin{array}{c}x"=\mathrm{kx}\text{'}+x_0\left(1-k\right)\\ y"=\mathrm{ky}\text{'}+y_0\left(1-k\right)\end{array}\to \{\begin{array}{c}x"=k\left(x·\cos \alpha +y·\sin \alpha \right)+x_0\left(1-k\right)=k\cos \alpha ·x+k\sin \alpha ·y+x_0\left(1-k\right)\\ y"=k\left(x·\sin \alpha -y·\cos \alpha \right)+y_0\left(1-k\right)=k\sin \alpha ·x-k\cos \alpha ·y+y_0\left(1-k\right)\end{array}$

Se si confrontano con la similitudine data si trova che sinα deve essere uguale a zero e i valori di α sono 0° o 180°.

Se α= 0 la rotazione inversa diventa una simmetria assiale rispetto l'asse delle ascisse e le equazioni della similitudine diventano: $\{\begin{array}{c}x"=\mathrm{kx}+x_0\left(1-k\right)\\ y"=-\mathrm{ky}+y_0\left(1-k\right)\end{array}$

Confrontata con l'originale similitudine deve essere: k= -2, x₀(1-k)=3 → x₀=1, y₀(1-k)= -10 → y₀= -10/3

Quindi la similitudine è creata prima operando una simmetria assiale rispetto l'asse delle ascisse e poi una omotetia con k=-2 e centro (1, -10/3)

Se α=180° la rotazione inversa è una simmetria assiale rispetto l'asse delle ordinate e le equazioni della similitudine diventano: $\{\begin{array}{c}x"=-\mathrm{kx}+x_0\left(1-k\right)\\ y"=\mathrm{ky}+y_0\left(1-k\right)\end{array}$

Conforntata con l'originale similitudine deve essere: k= 2, x₀(1-k)=3 → x₀= -3, y₀(1-k)=-10 →y₀= 10

Quindi la similitudine è creata prima operando una simmetria assiale rispetto l'asse delle ordinate e poi una omotetia con k=2 e centro (-3, 10).