Ridurre a forma canonica la conica $32·x^2+52·x·y-7·y^2+180=0$, indicare il tipo di conica,

rappresentarla e disegnarla tracciandola sia con i vecchi che con i nuovi assi.

La forma generale è: $a{x}^2+2b·xy+c{y}^2+2d·x+2e·y+f=0$. I coefficienti sono: a= 32; b= 26: c= -7; d= 0; e= 0 ed f= 180.

Il determinante Δ dei coefficienti è $\det \left(\Delta \right)=\left|\begin{array}{ccc}a& b& d\\ b& c& e\\ d& e& f\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}32& 26& 0\\ 26& -7& 0\\ 0& 0& 180\end{array}\right|=180\left({-7·32-26}^2\right)=-162000\ne 0$ (sviluppato secondo la terza riga).

Il determinante δ dei coefficienti è $\det \left(\delta \right)=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}32& 26\\ 26& -7\end{array}\right|=-7·32-26·26=-900<0$ quindi la conica è un'iperbole.

Poichè è presente solo il termine misto occorre solo ruotare la conica con centro di simmetria l'origine degli assi (sono nulli i coefficienti d ed e).

L'angolo di rotazione è la soluzione dell'equazione: $b·{\tan }^2\theta -\left(c-a\right)·\tan \theta -b=0\to 26·{\tan }^2\theta -\left(-7-32\right)·\tan \theta -26=0\to 2·{\tan }^2\theta +3·\tan \theta -2=0\to$

$\to \tan \theta =\frac{-3\pm \sqrt{9+16}}{4}=\frac{-3\pm 5}{4}=\{\begin{array}{c}\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}\\ \frac{-3-5}{4}=-2\end{array}$

Scelto $\tan \theta =\frac{1}{2}$ occorre ricavare sinθ e cosθ (ambedue positivi per considerare l'angolo più piccolo) : $\{\begin{array}{c}\sin \theta =\frac{\tan \theta }{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\\ \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\end{array}$

Adesso occorre operare una rotazione in senso orario, quindi inversa, la cui forma generale è: $\{\begin{array}{c}x\text{'}=x·\cos \theta +y·\sin \theta \\ y\text{'}=-x·\sin \theta +y·\cos \theta \end{array}$

Nel caso in esame la trasformazione è $\rho :\{\begin{array}{c}x\text{'}=\frac{2}{\sqrt{5}}·x+\frac{1}{\sqrt{5}}·y\\ y\text{'}=-\frac{1}{\sqrt{5}}·x+\frac{2}{\sqrt{5}}·y\end{array}$La trasformazione inversa: ${\rho }^{-1}:\{\begin{array}{c}x=x\text{'}·\cos \theta -y\text{'}·\sin \theta \\ y=x\text{'}·\sin \theta +y\text{'}·\cos \theta \end{array}\to {\rho }^{-1}:\{\begin{array}{c}x=\frac{2}{\sqrt{5}}·x\text{'}-\frac{1}{\sqrt{5}}·y\text{'}\\ y=\frac{1}{\sqrt{5}}·x\text{'}+\frac{2}{\sqrt{5}}·y\text{'}\end{array}$

Sostituendo nell'equazione originale le coordinate x e y:

$32·{(\frac{2}{\sqrt{5}}x\text{'}-\frac{1}{\sqrt{5}}y\text{'})}^2+52·(\frac{2}{\sqrt{5}}x\text{'}-\frac{1}{\sqrt{5}}y\text{'})·(\frac{1}{\sqrt{5}}x\text{'}+\frac{2}{\sqrt{5}}y\text{'})-7·{(\frac{1}{\sqrt{5}}x\text{'}+\frac{2}{\sqrt{5}}y\text{'})}^2+180=0\to$

$\to \frac{128}{5}{x\text{'}}^2+\frac{32}{5}{y\text{'}}^2-\frac{128}{5}·x\text{'}y\text{'}+\frac{104}{5}·{x\text{'}}^2+\frac{208}{5}·x\text{'}y\text{'}-\frac{52}{5}x\text{'}y\text{'}-\frac{104}{5}·{y\text{'}}^2-\frac{7}{5}{x\text{'}}^2-\frac{28}{5}{y\text{'}}^2-\frac{28}{5}·x\text{'}y\text{'}+180=0\to$

$\to \left(128+104-7\right)·{x\text{'}}^2+\left(32-104-28\right)·{y\text{'}}^2+\left(-128+208-52-28\right)·x\text{'}y\text{'}+900=0\to 225·{x\text{'}}^2-100·{y\text{'}}^2+900=0\to 9·{x\text{'}}^2-4·{y\text{'}}^2=36$