Ridurre a forma canonica la conica $5·x^2-6·x·y+5·y^2-32=0$, indicare il tipo di conica,

rappresentarla e disegnarla tracciandola sia con i vecchi che con i nuovi assi.

La forma generale è: $a{x}^2+2b·xy+c{y}^2+2d·x+2e·y+f=0$. I coefficienti sono: a= 5; b= -3: c= 5; d= 0; e= 0 ed f= -32.

Il determinante Δ dei coefficienti è $\det \left(\Delta \right)=\left|\begin{array}{ccc}a& b& d\\ b& c& e\\ d& e& f\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}5& -3& 0\\ -3& 5& 0\\ 0& 0& -32\end{array}\right|=-32\left(25-9\right)=-512$ (sviluppato secondo la terza riga).

Il determinante δ dei coefficienti è $\det \left(\delta \right)=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}5& -3\\ -3& 5\end{array}\right|=25-9=16>0$ quindi la conica è un'ellisse anche perchè a>0, c>0 e det(Δ)<0.

Poichè è presente solo il termine misto occorre solo ruotare la conica con centro di simmetria l'origine degli assi (sono nulli i coefficienti d ed e).

L'angolo di rotazione è la soluzione dell'equazione: $b·{\tan }^2\theta -\left(c-a\right)·\tan \theta -b=0\to -3·{\tan }^2\theta -\left(5-5\right)·\tan \theta +3=0\to 3·{\tan }^2\theta =3\to \tan \theta =\{\begin{array}{c}+1\\ -1\end{array}$

Scelto $\tan \theta =1$ occorre ricavare sinθ e cosθ (ambedue positivi per considerare l'angolo più piccolo) : $\{\begin{array}{c}\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

Adesso occorre operare una rotazione in senso orario, quindi inversa, la cui forma generale è: $\{\begin{array}{c}x\text{'}=x·\cos \theta +y·\sin \theta \\ y\text{'}=-x·\sin \theta +y·\cos \theta \end{array}$

Nel caso in esame la trasformazione è $\rho :\{\begin{array}{c}x\text{'}=\frac{\sqrt{2}}{2}·x+\frac{\sqrt{2}}{2}·y\\ y\text{'}=-\frac{\sqrt{2}}{2}·x+\frac{\sqrt{2}}{2}·y\end{array}$La trasformazione inversa: ${\rho }^{-1}:\{\begin{array}{c}x=x\text{'}·\cos \theta -y\text{'}·\sin \theta \\ y=x\text{'}·\sin \theta +y\text{'}·\cos \theta \end{array}\to {\rho }^{-1}:\{\begin{array}{c}x=\frac{\sqrt{2}}{2}·x\text{'}-\frac{\sqrt{2}}{2}·y\text{'}\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}·x\text{'}+\frac{\sqrt{2}}{2}·y\text{'}\end{array}$

Sostituendo nell'equazione originale le coordinate x e y:

$5·{(\frac{1}{\sqrt{2}}x\text{'}-\frac{1}{\sqrt{2}}y\text{'})}^2-6·(\frac{1}{\sqrt{2}}x\text{'}-\frac{1}{\sqrt{2}}y\text{'})·(\frac{1}{\sqrt{2}}x\text{'}+\frac{1}{\sqrt{2}}y\text{'})+5·{(\frac{1}{\sqrt{2}}x\text{'}+\frac{1}{\sqrt{2}}y\text{'})}^2-32=0\to$

$\to \frac{5}{2}{x\text{'}}^2+\frac{5}{2}{y\text{'}}^2-5·x\text{'}y\text{'}-3·{x\text{'}}^2+3·{y\text{'}}^2+\frac{5}{2}{x\text{'}}^2+\frac{5}{2}{y\text{'}}^2+5x\text{'}y\text{'}-32=0\to 2·{x\text{'}}^2+8·{y\text{'}}^2=32\to {x\text{'}}^2+4·{y\text{'}}^2=16$