Ridurre a forma canonica la conica $9·x^2-24·x·y+16·y^2-20·x+110·y-50=0$, indicare il tipo di conica,

rappresentarla e disegnarla tracciandola sia con i vecchi che con i nuovi assi.

La forma generale è: $a{x}^2+2b·xy+c{y}^2+2d·x+2e·y+f=0$. I coefficienti sono: a= 9; b= -12: c= 16; d= -10; e= 55 ed f= -50.

Il determinante Δ dei coefficienti è $\det \left(\Delta \right)=\left|\begin{array}{ccc}a& b& d\\ b& c& e\\ d& e& f\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}9& -12& -10\\ -12& 16& 55\\ -10& 55& -50\end{array}\right|=9·\left(-50·16-{55}^2\right)+12·\left(12·50+10·55\right)-10·\left(-12·55+10·16\right)=-15625\ne 0$ (sviluppato secondo la prima riga).

Il determinante δ dei coefficienti è $\det \left(\delta \right)=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}9& -12\\ -12& 16\end{array}\right|=9·16-{12}^2=0$ quindi la conica è una parabola.

Occorre solo ruotare la conica con centro l'origine degli assi. L'angolo di rotazione è la soluzione dell'equazione:

$b·{\tan }^2\theta -\left(c-a\right)·\tan \theta -b=0\to -12·{\tan }^2\theta -\left(16-9\right)·\tan \theta +12=0\to 12·{\tan }^2\theta +7·\tan \theta -12=0\to$

$\to \tan \theta =\frac{-7\pm \sqrt{49+576}}{24}=\frac{-7\pm 25}{24}=\{\begin{array}{c}\frac{-7+25}{24}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\\ \frac{-7-25}{24}=-\frac{32}{24}=-\frac{4}{3}\end{array}$

Scelto $\tan \theta =\frac{3}{4}$ si ha: $\{\begin{array}{c}\sin \theta =\frac{\tan \theta }{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}=\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=\frac{3}{5}\\ \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{16}}}=\frac{4}{5}\end{array}$

Adesso occorre operare una rotazione in senso orario, quindi inversa, la cui forma generale è: $\{\begin{array}{c}x\text{'}=x·\cos \theta +y·\sin \theta \\ y\text{'}=-x·\sin \theta +y·\cos \theta \end{array}$

Nel caso in esame la trasformazione è $\rho :\{\begin{array}{c}x\text{'}=\frac{4}{5}·x+\frac{3}{5}·y\\ y\text{'}=-\frac{3}{5}·x+\frac{4}{5}·y\end{array}$

La trasformazione inversa: ${\rho }^{-1}:\{\begin{array}{c}x=x\text{'}·\cos \theta -y\text{'}·\sin \theta \\ y=x\text{'}·\sin \theta +y\text{'}·\cos \theta \end{array}\to {\rho }^{-1}:\{\begin{array}{c}x=\frac{4}{5}·x\text{'}-\frac{3}{5}·y\text{'}\\ y=\frac{3}{5}·x\text{'}+\frac{4}{5}·y\text{'}\end{array}$

Sostituendo nell'equazione originale le coordinate x e y:

$9·{(\frac{4}{5}x\text{'}-\frac{3}{5}y\text{'})}^2-24·(\frac{4}{5}x\text{'}-\frac{3}{5}y\text{'})·(\frac{3}{5}x\text{'}+\frac{4}{5}y\text{'})+16·{(\frac{3}{5}x\text{'}+\frac{4}{5}y\text{'})}^2-20·(\frac{4}{5}·x\text{'}-\frac{3}{5}·y\text{'})+110·(\frac{3}{5}·x\text{'}+\frac{4}{5}·y\text{'})-50=0\to$

$\to \frac{144}{25}{x\text{'}}^2+\frac{81}{25}{y\text{'}}^2-\frac{216}{25}·x\text{'}y\text{'}-\frac{288}{25}·{x\text{'}}^2-\frac{384}{25}·x\text{'}y\text{'}+\frac{216}{25}x\text{'}y\text{'}+\frac{288}{25}·{y\text{'}}^2+\frac{144}{25}{x\text{'}}^2+\frac{256}{25}{y\text{'}}^2+\frac{384}{25}·x\text{'}y\text{'}-\frac{80}{5}x\text{'}+\frac{60}{5}y\text{'}+\frac{330}{5}x\text{'}+\frac{440}{5}y\text{'}-50=0\to$

$\to (\frac{144}{25}-\frac{288}{25}+\frac{144}{25})·{x\text{'}}^2+(\frac{81}{25}+\frac{288}{25}+\frac{256}{25})·{y\text{'}}^2+(-\frac{216}{25}-\frac{384}{25}+\frac{216}{25}+\frac{384}{25})·x\text{'}y\text{'}+(-\frac{80}{5}+\frac{330}{5})x\text{'}+(\frac{60}{5}+\frac{440}{5})y\text{'}-50=0\to$

$\to 25·{y\text{'}}^2+50·x\text{'}+100·y\text{'}-50=0\to x\text{'}=-\frac{1}{2}·{y\text{'}}^2-2·y\text{'}+1$