Ridurre a forma canonica la conica $19·x^2+6·x·y+11·y^2+38·x+6·y+29=0$, indicare il tipo di conica,

rappresentarla e disegnarla tracciandola sia con i vecchi che con i nuovi assi.

La forma generale è: $a{x}^2+2b·xy+c{y}^2+2d·x+2e·y+f=0$. I coefficienti sono: a= 19; b= 3: c= 11; d= 19; e= 3 ed f= 29.

Il determinante Δ dei coefficienti è $\det \left(\Delta \right)=\left|\begin{array}{ccc}a& b& d\\ b& c& e\\ d& e& f\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}19& 3& 19\\ 3& 11& 3\\ 19& 3& 29\end{array}\right|=19·\left(11·29-3^2\right)-3·\left(3·29-3·19\right)+19·\left(3^2-11·19\right)=2000\ne 0$ (sviluppato secondo la prima riga).

Il determinante δ dei coefficienti è $\det \left(\delta \right)=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}19& 3\\ 3& 11\end{array}\right|=19·11-3^2=200$ .

Poichè il segno di a= 19 e quello di c= 11 sono concordi al segno di Δ= 2000, la conica è un'ellisse immaginaria.

È possibile comunque ottenere la forma canonica di tale ellisse immaginaria.

Il centro di simmetria è dato dall'intersezione delle rette: $\{\begin{array}{c}a·x+b·y+d=0\\ c·y+b·x+e=0\end{array}\to \{\begin{array}{c}19·x+3·y+19=0\\ 11·y+3·x+3=0\end{array}\to \{\begin{array}{c}-\frac{3}{19}·19x-\frac{3}{19}·3y-\frac{3}{19}·19=0\\ 11·y+3·x+3=0\end{array}\to \{\begin{array}{c}-3·x-\frac{9}{19}·y-3=0\\ 11·y+3·x+3=0\end{array}\to$

$\to -3·x-\frac{9}{19}·y-3+11·y+3·x+3=0\to y=0$ e sostituendo in una delle due equazioni x = -1. Occorre traslare la conica con un vettore V(1,0).

Le equazioni di trasformazione sono: $\{\begin{array}{c}x\text{'}=x+1\\ y\text{'}=y\end{array}\to \{\begin{array}{c}x=x\text{'}-1\\ y=y\text{'}\end{array}$. Sostituendo nell'equazione della conica:

$19·{\left(x\text{'}-1\right)}^2+6·\left(x\text{'}-1\right)·y\text{'}+11·{y\text{'}}^2+38·\left(x\text{'}-1\right)+6·y\text{'}+29=0\to 19·{x\text{'}}^2+19-38·x\text{'}+6·x\text{'}·y\text{'}-6·y\text{'}+11·{y\text{'}}^2+38·x\text{'}-38+6·y\text{'}+29=0\to$

$\to 19·{x\text{'}}^2+6·x\text{'}·y\text{'}+11·{y\text{'}}^2+10=0$

Ora occorre ruotare la conica con centro l'origine degli assi. L'angolo di rotazione è la soluzione dell'equazione:

$b·{\tan }^2\theta -\left(c-a\right)·\tan \theta -b=0\to 3·{\tan }^2\theta -\left(11-19\right)·\tan \theta -3=0\to 3·{\tan }^2\theta +8·\tan \theta -3=0\to$

$\to \tan \theta =\frac{-4\pm \sqrt{16+9}}{3}=\frac{-4\pm 5}{3}=\{\begin{array}{c}\frac{-4+5}{3}=\frac{1}{3}\\ \frac{-4-5}{3}=-\frac{9}{3}=-3\end{array}$

Scelto $\tan \theta =\frac{1}{3}$ si ha: $\{\begin{array}{c}\sin \theta =\frac{\tan \theta }{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\\ \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\end{array}$

Adesso occorre operare una rotazione in senso orario, quindi inversa, la cui forma generale è: $\{\begin{array}{c}x\text{'}=x·\cos \theta +y·\sin \theta \\ y\text{'}=-x·\sin \theta +y·\cos \theta \end{array}$

Nel caso in esame la trasformazione è $\rho :\{\begin{array}{c}x\text{'}=\frac{3}{\sqrt{10}}·x+\frac{1}{\sqrt{10}}·y\\ y\text{'}=-\frac{1}{\sqrt{10}}·x+\frac{3}{\sqrt{10}}·y\end{array}$

La trasformazione inversa: ${\rho }^{-1}:\{\begin{array}{c}x=x\text{'}·\cos \theta -y\text{'}·\sin \theta \\ y=x\text{'}·\sin \theta +y\text{'}·\cos \theta \end{array}\to {\rho }^{-1}:\{\begin{array}{c}x=\frac{3}{\sqrt{10}}·x\text{'}-\frac{1}{\sqrt{10}}·y\text{'}\\ y=\frac{1}{\sqrt{10}}·x\text{'}+\frac{3}{\sqrt{10}}·y\text{'}\end{array}$

Sostituendo nell'equazione della conica traslata le coordinate x e y:

$19·{(\frac{3}{\sqrt{10}}x\text{'}-\frac{1}{\sqrt{10}}y\text{'})}^2+6·(\frac{3}{\sqrt{10}}x\text{'}-\frac{1}{\sqrt{10}}y\text{'})·(\frac{1}{\sqrt{10}}x\text{'}+\frac{3}{\sqrt{10}}y\text{'})+11·{(\frac{1}{\sqrt{10}}x\text{'}+\frac{3}{\sqrt{10}}y\text{'})}^2+10=0\to$

$\to \frac{171}{10}{x\text{'}}^2+\frac{19}{10}{y\text{'}}^2-\frac{114}{10}·x\text{'}y\text{'}+\frac{18}{10}·{x\text{'}}^2+\frac{54}{10}·x\text{'}y\text{'}-\frac{6}{10}x\text{'}y\text{'}-\frac{18}{10}·{y\text{'}}^2+\frac{11}{10}{x\text{'}}^2+\frac{99}{10}{y\text{'}}^2+\frac{66}{10}·x\text{'}y\text{'}+10=0\to$

$\to (\frac{171}{10}+\frac{18}{10}+\frac{11}{10})·{x\text{'}}^2+(\frac{19}{10}-\frac{18}{10}+\frac{99}{10})·{y\text{'}}^2+(-\frac{114}{10}+\frac{54}{10}-\frac{6}{10}+\frac{66}{10})·x\text{'}y\text{'}+10=0\to$

$\to 20·x^2+10·{y\text{'}}^2+10=0\to 2·x^2+y^2+1=0$