N° 5 Forma Canonica

Dire cosè la conica $4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x \cdot y + y^{2} - 12 \cdot x + 6 \cdot y - 11 = 0$

La forma generale è: $a x^{2} + 2 b \cdot x y + c y^{2} + 2 d \cdot x + 2 e \cdot y + f = 0$ . I coefficienti sono: a= 4; b= -2: c= 1; d=-6; e= 3 ed f= -11.

Il determinante Δ dei coefficienti è $\det (Δ) = |\begin{matrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \end{matrix}| = |\begin{matrix} 4 & - 2 & - 6 \\ - 2 & 1 & 3 \\ - 6 & 3 & - 11 \end{matrix}| = 4 \cdot (- 11 - 3^{2}) + 2 \cdot (2 \cdot 11 + 3 \cdot 6) - 6 \cdot (- 2 \cdot 3 + 6) = 0$ (sviluppato secondo la prima riga).

Poichè det(Δ)=0, la conica rappresenta l'unione di due rette, o una retta solo, o un punto, o un luogo vuoto.

L'equazione generale può essere scritta: ${(2 x - y)}^{2} - 6 \cdot (2 x - y) - 11 = 0 \to 2 x - y = 3 \pm \sqrt{9 + 11} = {\begin{matrix} 3 + 2 \sqrt{5} \\ 3 - 2 \sqrt{5} \end{matrix}$

Quindi l'equazione può essere scritta: $(2 x - y - 3 - 2 \sqrt{5}) \cdot (2 x - y - 3 + 2 \sqrt{5}) = 0$ e rappresenta il prodotto delle equazioni delle due rette ${\begin{matrix} y = 2 x - 3 - 2 \sqrt{5} \\ y = 2 x - 3 + 2 \sqrt{5} \end{matrix}$ che sono parallele.

N°5 Standard Form