In un triangolo rettangolo isoscele la misura del perimetro è la soluzione dell'equazione:

$\frac{\sqrt{2}\left(x-2\sqrt{2}\right)}{4}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{x}{2+\sqrt{2}}$

Risoluzione dell'equazione.

$\frac{\sqrt{2}\left(x-2\sqrt{2}\right)}{4}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{x}{2+\sqrt{2}}\to$

$\to \frac{\sqrt{2}\left(x-2\sqrt{2}\right)}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{x\left(2-\sqrt{2}\right)}{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}\to$

$\to \frac{\sqrt{2}\left(x-2\sqrt{2}\right)}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2x-\sqrt{2}x}{4-2}\to$

$\to \sqrt{2}x-4+2\sqrt{2}=4x-2\sqrt{2}x\to$

$\to \left(4-3\sqrt{2}\right)x=2\sqrt{2}-4\to$

$\to x=\frac{2\sqrt{2}-4}{4-3\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{2}-4)\left(4+3\sqrt{2}\right)}{\left(4-3\sqrt{2}\right)\left(4+3\sqrt{2}\right)}=\frac{8\sqrt{2}+12-16-12\sqrt{2}}{16-18}=2(\sqrt{2}+1)$

In un triangolo rettangolo isoscele, detta x la misura di un cateto, il perimetro è $p=\left(2+\sqrt{2}\right)x$

Da cui eguagliando :

$2(\sqrt{2}+1)=\left(2+\sqrt{2}\right)x\to x=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{2+\sqrt{2}}=2·\frac{(\sqrt{2}+1)\left(2-\sqrt{2}\right)}{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}=2·\frac{2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2}}{4-2}=\sqrt{2}$

Ogni cateto è lungo $\sqrt{2}$cm. L'ipotenusa sarà lunga $\sqrt{2}·x=\sqrt{2}·\sqrt{2}=2$ cm

L'area : $\mathrm{Area}=\frac{x^2}{2}=1$ cm²