Determina l'ampiezza di POO', sapendo che P, P', Q e Q' sono punti di tangenza e che $Q\widehat{R}R\text{'}=\frac{4}{5}Q\text{'}\widehat{R}\text{'}R$.

Le rette tangenti per R in Q e per R' in Q' sono perpendicolari alla stessa retta per OO' e quindi sono parallele. Da cui QRR' e Q'R'R , angoli coniugati interni, sono supplementari. Con la relazione data li possiamo ricavare: $$\{\begin{array}{c}Q\widehat{R}R\text{'}=\frac{4}{5}Q\text{'}\widehat{R}\text{'}R\\ Q\widehat{R}R\text{'}+Q\text{'}\widehat{R}\text{'}R=\pi \end{array}\to \{\begin{array}{c}Q\text{'}\widehat{R}\text{'}R=\frac{5}{4}Q\widehat{R}R\text{'}\\ Q\widehat{R}R\text{'}+Q\text{'}\widehat{R}\text{'}R=\pi \end{array}\to Q\widehat{R}R\text{'}+\frac{5}{4}Q\widehat{R}R\text{'}=\pi \to \frac{9}{4}Q\widehat{R}R\text{'}=\pi \to Q\widehat{R}R\text{'}=\frac{4}{9}\pi$$ Per il teorema delle due tangenti da un punto esterno alla circonferenza, POO' è supplementare a QRP e quindi congruente a QRR' (angoli supplementari ad uno stesso angolo).