N° 5 Geometria Solida

Dimostrare che il volume di un cilindro inscritto in un cono è minore della metà del volume del cono.

Facendo riferimento alla figura, il volume del cono è:

V_{cono} = \frac{π {OC}^{2} \cdot OB}{3}

Il volume del cilindro è:

V_{cilindro} = π {AD}^{2} \cdot OA

I triangoli OBC e ABD sono simili.

Possiamo scrivere la proporzione:

OB : AB = OC : AD \Rightarrow AD = \frac{AB \cdot OC}{OB} = \frac{(OB - OA) \cdot OC}{OB} = (1 - \frac{OA}{OB}) \cdot OC = (1 - k) \cdot OC

con k=OA/OB un parametro minore di 1.

Imponiamo ora la condizione richiesta:

V_{clindro} < \frac{V_{cono}}{2} \Rightarrow π {AD}^{2} \cdot OA < \frac{π {OC}^{2} \cdot OB}{6}

Sostituiamo AD e il rapporto OA/OB con k:

{(1 - k)}^{2} \cdot {OC}^{2} \cdot OA < \frac{{OC}^{2} \cdot OB}{6} \Rightarrow {(1 - k)}^{2} \cdot k < \frac{1}{6}

La funzione f(k) = (1-k)²·k = k³ - 2k² + k è definita nell'intervallo [0,1].
Controlliamo se il massimo della funzione è minore di 1/6:

f'(k) = 3 k^{2} - 4 k + 1 = 0 \Rightarrow k = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 3}}{3} \Rightarrow \{\begin{matrix} k_{1} = 1 \\ k_{2} = \frac{1}{3} \end{matrix}

Valore accettabile per k è 1/3.
Sostituiamolo nella condizione ricavata:

{(1 - k)}^{2} \cdot k < \frac{1}{6} \Rightarrow {(1 - \frac{1}{3})}^{2} \cdot \frac{1}{3} < \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} < \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{4}{27} < \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{8}{9} < 1