TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA PIANA



  1. Trovare l'area del triangolo ABC, inscritto in un cerchio il cui raggio 2 m, e avente per base la corda AB sottesa da un angolo al centro di 45 e per vertice il punto medio C dell'arco sotteso dall'angolo. (R)

  2. In una semicirconferenza il cui diametro AB misura 2r inscrivere un quadrangolo convesso ABCD in modo che il lato BC misuri r e che il perimetro misuri 5r . (R)

  3. Sui lati dell'angolo BAC di 60, considerare i segmenti AB e AC di misura rispettivamente 4a e 3a. Determinare il punto P interno all'angolo BAC in modo che il quadrilatero ABPC sia in rapporto 7/4 al rettangolo avente i lati che misurano a e AP. (R)

  4. In un triangolo rettangolo ABC, l'angolo in B di 30, l'angolo in C di 60 e l'altezza AH misura h. Determinare un punto P sul lato AB e un punto Q sul lato AC in modo che le rette HP e HQ formino con la retta HA due angoli uguali e che inoltre valga la relazione : 1 HP + 1 HQ = 5 3 3 h . (R)
  5. Dato il settore circolare AOB di raggio r, l'angolo al centro sia di 120. Determinare sull'arco AB un punto P in modo che, indicata con H la sua proiezione ortogonale sul raggio OA e con D l'intersezione tra la tangente condotta per P e il prolungamento del raggio OB, oltre B, risulti verificata la relazione : OH = 3 1 4 OD (R)
  6. Dato il triangolo rettangolo isoscele ABC con AB = AC = a, dal vertice B tracciare una semiretta r interna al triangolo che interseca il lato AC nel punto D. Determinare l'angolo che r forma con la base BC in modo che risulti : 2 p ( BCD ) + 2 p ( ABD ) = a ( 6 + 4 3 + 3 2 3 ) . (R)
  7. Inscrivere in una semicirconferenza di diametro AB= 2r un triangolo rettangolo ABC con l'angolo in B di π/6. Determinare sull'arco AC un punto P in modo che, dette D la sua proiezione ortogonale sul cateto BC ed E la sua proiezione ortogonale sul prolungamento del cateto AC, risulti vera la relazione : PD = PE. (R)

  8. Data una semicirconferenza di centro O e diametro AB= 2r, condurre per A una corda AC in modo tale che il trapezio che ha per basi AC e il raggio OD, parallelo ad AC, abbia un perimetro di 4r. (R)

  9. Sono date una circonferenza di raggio r ed una sua corda AB= r√3. Sull'arco minore AB determinare un punto P in modo tale che, condotta per A la perpendicolare ad AP e detto C il punto in cui essa incontra ℂ, il quadrilatero APBC abbia un perimetro di 2(1 + √3)r. (R)

  10. Di un triangolo rettangolo BAC, l'ipotenusa BC lunga 2a ed il cateto CA minore o uguale al cateto BA. Detti O il punto medio di BC ed M il punto in cui la perpendicolare in O a BC incontra la retta AB, determinare l'angolo CBA, sapendo che l'area del rettangolo di lati CA ed OM uguale a 2ma, essendo m= √3/6. (R).
  11. Di un triangolo rettangolo ABC si conosce l'ipotenusa BC= 2a e la somma 2 + 10 2 a della mediana relativa al cateto AB con la met del cateto stesso. Risolvere il triangolo assumendo come incognita l'angolo ABC. (R)

  12. Dato un quadrante di cerchio AOB di centro O e raggio r= 4 cm, la perpendicolare ad OA condotta del punto C di OA, posto alla distanza di 2√3/3 cm da O, incontra l'arco AB in D. Determinare sull'arco AD un punto M tale che, condotta per esso la tangente all'arco e indicati rispettivamente con E e F i punti in cui questa incontra i prolungamenti di OA e CD, risulti: MF = 2ME. (R)

  13. Dato un arco di circonferenza AB di raggio r, centro O e ampiezza 60, condurre per un suo punto M la tangente che incontra i prolungamenti dei raggi OA e OB, rispettivamente, in C e D. Determinare la posizione di M in modo tale che sia: OC = 1 + 3 2 OD (R)
  14. Sull'arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio r, determinare un punto P tale che, indicando con C la proiezione ortogonale di P sul raggio OB, sia AP + 2PC = 2r. (R)

  15. Data una semicirconferenza di diametro AB= 2r e centro O, si conduca la tangente in B. Sull'arco AB determinare un punto C in modo che, condotta per esso la tangente alla semicirconferenza sino ad incontrare in D la tangente condotta in B, sia AC + CD = 2OD. (R)

  16. Dato un cerchio di raggio r, determinare un angolo al centro AOB = x in modo che, costruito il triangolo equilatero ABC sulla corda AB dalla parte opposta del centro O, sia (√3/2)r l'area del quadrilatero OACB. (R)

  17. Determinare la base e l'altezza di un triangolo isoscele, sapendo che esso inscritto in un cerchio di raggio r e che la somma della base e dell'altezza r ( 2 3 + 1 ) 2 . (R)

  18. Sopra l'arco AB, quarta parte di una circonferenza di raggio r e centro O, determinare un punto P tale che, detti M e N i due punti situati rispettivamente sui raggi OA e OB alla distanza r/2 da O, il quadrilatero MONP abbia area 2 4 r 2 . (R)
  19. Dato un angolo retto xOy, siano dati due punti A e B sui lati Oy e Ox, in modo che sia OA = OB 3 . Determinare un punto P, interno all'angolo retto, essendo O P ̂ A retto e OP 2 + PB 2 = OB 2 . (R)

  20. In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa BC misura 2a. Condurre per il suo punto medio M una retta perpendicolare ad essa che incontri il cateto AB nel punto K. Calcolare l'ampiezza dell'angolo A B ̂ C in modo tale che: AC MK = a 2 2 (R)

  21. Le misure a, b, c dei lati di un triangolo soddisfano le seguenti relazioni: a= 7c/3, b= 8c/3. Calcolare l'ampiezza dell'angolo opposto al lato a. (R)

  22. Il lato del triangolo ABC misura a, dal vertice A, internamente al triangolo tracciare la semiretta r, siano B' e C' le proiezioni di B e C sulla simiretta r, determinare l'angolo che r forma con il lato AB in modo che si abbia AB + AC = 3 a . (R)

  23. I lati di un triangolo rettangolo hanno lunghezze proporzionali alla prima terna pitagorica. Si conduce dal vertice dell'angolo retto una semiretta che interseca l'ipotenusa in modo che l'angolo che forma con il cateto minore sia un sesto di angolo piatto. Dimostrare che il rapporto delle aree dei due triangoli che si formano 4 3 3 (R)

  24. Il pi piccolo angolo di un triangolo inscritto in una semicirconferenza di raggio unitario un ottavo di un angolo piatto. Dagli altri due vertici sono condotte le tangenti alla semicirconferenza. Dimostrare che l'area del quadrilatero, in cui tre vertici sono quelli del triangolo e il quarto il punto di intersezione delle tangenti, 5 4 2 1 (R)
  25. Determinare l'ampiezza dell'angolo acuto A B ̂ C del triangolo A B Δ C , rettangolo in A, in modo che, detta AL la bisettrice dell'angolo retto, sia verificata la relazione: AB + AC AL = 2 6 + 3 2 3 (R)
home next