N° 2 Geometria Solida e Trigonometria

Di una piramide regolare a base esagonale, si conoscono la lunghezza del lato di base l e il volume V.

Calcolare: a) l'area della superficie laterale; b) gli angoli alla base delle facce.


L'area di un esagono regolare è data dalla somma delle aree di 6 triangoli equilateri di lato l. Quindi: $S_{b} = 6 \cdot l \cdot (l \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot l^{2}$ Nota l'area di base e il volume si può ricavare l'altezza: $h = \frac{3 \cdot V}{S_{b}} = \frac{3 \cdot V}{\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot l^{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{V}{l^{2}}$ Il raggio della circonferenza iscritta in un esagono è dato da: $r = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot l$ Noto il raggio e l'altezza, l'apotema si può calcolare con il Teorema di Pitagora: $a = \sqrt{\frac{4 V^{2}}{3 \cdot l^{4}} + \frac{3}{36} \cdot l^{2}}$ Nota l'apotema si può calcolare l'area della superficie laterale: $S_{b} = \frac{6 l}{2} \cdot a = 3 l \cdot \sqrt{\frac{4 V^{2}}{3 \cdot l^{4}} + \frac{3}{36} \cdot l^{2}} = \sqrt{\frac{12 \cdot V^{2}}{l^{2}} + \frac{3}{4} \cdot l^{4}}$

Gli angoli alla base delle facce, noto il lato di base e l'apotema sono dati dalla relazione: $\tan φ = \frac{a}{\frac{l}{2}} = \frac{2}{l} \cdot \sqrt{\frac{4 V^{2}}{3 \cdot l^{4}} + \frac{3}{36} \cdot l^{2}} = \sqrt{\frac{16 V^{2}}{3 \cdot l^{6}} + \frac{1}{3}}$

Da cui: $φ = \arctan (\sqrt{\frac{16 V^{2}}{3 \cdot l^{6}} + \frac{1}{3}})$