N° 8 Trigonometria e Geometria Solida

Sia una circonferenza di diametro AB= 2r;

condurre per il punto A una corda AC, in modo tale che l'area della calotta sferica, generata dall'arco AC che ruota attorno ad AB,

sia doppia dell'area laterale del cono generato dalla corda AC che ruota attorno allo stesso diametro.


L'altezza della calotta sferica è il segmento AD. AD può essere espresso in funzione di α dato che il triangolo $A \overset{Δ}{D} C$ è rettangolo: $\bar{AD} = \bar{AC} \cdot \cos α$ A sua volta la corda AC puè essere ricavata con il Teorema della corda: $\bar{AC} = 2 r \cdot \sin (\frac{π}{2} - α) = 2 r \cdot \cos α$ Da cui sostituendo: $\bar{AD} = 2 r \cdot \cos^{2} α$ L'area della calotta sferica: $S_{ca} = 2 π \cdot \bar{AO} \cdot \bar{AD} = 4 π \cdot r^{2} \cdot \cos^{2} α$ La corda CB è l'apotema del cono. Applicando il Teorema della corda: $\bar{CB} = 2 r \cdot \sin α$ Il raggio di base CD è: $\bar{CD} = \bar{AC} \cdot \sin α = 2 r \cdot \sin α \cdot \cos α$ L'area laterale del cono è: $S_{C} = π \cdot \bar{CB} \cdot \bar{CD} = 4 π \cdot r^{2} \cdot \sin^{2} α \cdot \cos α$

Ora sostituendo nella relazione richiesta :

$S_{ca} = 2 \cdot S_{C} \to 4 π \cdot r^{2} \cdot \cos^{2} α = 2 \cdot 4 π \cdot r^{2} \cdot \sin^{2} α \cdot \cos α \to \cos α = 2 \cdot \sin^{2} α \to {2 \cdot \cos}^{2} α + \cos α - 2 = 0$

È questa un'equazione goniometrica algebrica. Soluzione: $\cos α = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{}$