N° 12 Equazioni Parametriche

$\frac{x}{a^{2} + a + 1} + \frac{1}{a^{3} - 1} = \frac{x}{1 - a} \to$

$\frac{x}{a^{2} + a + 1} + \frac{1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} = - \frac{x}{a - 1}$

L'equazione è senza significato se a=1

Il m.c.m. è: $a^{3} - 1$ . Moltiplicando ambo i membri si ottiene:

$(a - 1) \cdot x + 1 = - x \cdot (a^{2} + a + 1) \to a \cdot x - x + 1 = - a^{2} \cdot x - a \cdot x - x \to (a^{2} + 2 a) \cdot x = - 1$

$A (a) = a^{2} + 2 \cdot a$ e $B (a) = - 1$

Posto $A (a) = 0 \to a = 0 \lor a = - 2$ . Posto $B (a) = 0 \to False$

$A (a) = 0 \land B (a) = 0 \to False$
$A (a) = 0 \land B (a) \neq 0 \to a = 0 \lor a = - 2$ . Per $a = 0 \lor a = - 2$ l'equazione è impossibile
$A (a) \neq 0 \to a \neq 0 \land a \neq - 2$ . Per $a \neq 0 \land a \neq - 2 \land a \neq 1$ l'equazione è determinata. Soluzione: $x = \frac{B (a)}{A (a)} = - \frac{1}{a^{2} + 2 a}$