$\frac{1}{x}+\frac{1}{3x+3}=\frac{4x+a}{3x^2-3}\to$

$\to \frac{1}{x}+\frac{1}{3\left(x+1\right)}=\frac{4x+a}{3\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$

Se $x=0\vee x=\pm 1$ l'equazione è impossibile

Il m.c.m. è $3x·\left(x+1\right)\left(x-1\right)$. Moltiplicando l'equazione con il m.c.m. si ottiene:

$3(x^2-1)+x\left(x-1\right)=\left(4x+a\right)·x\to 3x^2-3+x^2-x=4x^2+a·x\to \left(1+a\right)·x=-3$

$A\left(a\right)=1+a$ e $B\left(a\right)=-3$.

Posto $A\left(a\right)=0\to a=-1$. Posto $B\left(a\right)=0\to \mathrm{False}.$

1. $A\left(a\right)=0\wedge B\left(a\right)=0\to \mathrm{False}$
2. $A\left(a\right)=0\wedge B\left(a\right)\ne 0\to a=-1$. L'equazione è impossibile
3. $A\left(a\right)\ne 0\to a\ne -1$. L'equazione è determinata. $x=\frac{B\left(a\right)}{A\left(a\right)}=\frac{-3}{1+a}$.

Tuttavia posto x = -1 : $-1=\frac{-3}{1+a}\to -1-a=-3\to a=2$. L'equazione è impossibile

e posto x= +1 : $1=\frac{-3}{1+a}\to 1+a=-3\to a=-4$. L'equazione è impossibile.

Riassumendo

• se a=−1∨a=2∨a=−4 l'equazione è impossibile
• se $a\ne -1\wedge a\ne 2\vee a\ne -4$ l'equazione è determinata con $x=-\frac{3}{1+a}$