$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x-2}=\frac{ax+1}{x^2-x}\to$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{2\left(x-1\right)}=\frac{\mathrm{ax}+1}{x·\left(x-1\right)}$

Se $x=0\vee x=1$ l'equazione è impossibile.

Il mc.m. è $2·x\left(x-1\right)$. Moltiplicando ambo i membri dell'equazione con il m.c.m.:

$2·\left(x-1\right)+x=2·\left(\mathrm{ax}+1\right)\to 2x-2+x=2a·x+2\to \left(3-2a\right)·x=4$

$A\left(a\right)=3-2·a$ e $B\left(a\right)=4$.

Posto $A\left(a\right)=0\to a=\frac{3}{2}$. Posto $B\left(a\right)=0\to \mathrm{False}$

1. $A\left(a\right)=0\wedge B\left(a\right)=0\to \mathrm{False}$
2. $A\left(a\right)=0\wedge B\left(a\right)\ne 0\to a=\frac{3}{2}$. L'equazione è impossibile
3. $A\left(a\right)\ne 0\to a\ne \frac{3}{2}$. L'equazione è determinata con $x=\frac{B\left(a\right)}{A\left(a\right)}=\frac{4}{3-2·a}$.

Se $x=0\to 0=\frac{4}{3-2·a}\to \mathrm{False}$

Se $x=1\to 1=\frac{4}{3-2·a}\to 3-2·a=4\to a=-\frac{1}{2}$. Equazione impossibile

Riassumendo:

• Se $a=-\frac{1}{2}\vee a=\frac{3}{2}$ l'equazione è impossibile
• Se $a\ne -\frac{1}{2}\wedge a\ne \frac{3}{2}$ l'equazione è determinata con $x=\frac{4}{3-2·a}$