N° 24 Equazioni Parametriche

$\frac{x}{a} + \frac{x + 1}{a + 1} = 2 \to$

L'equazione perde significato se $a = 0 \lor a = - 1$ .

Il mc.m. è $a \cdot (a + 1)$ . Moltiplicando ambo i membri dell'equazione con il m.c.m.:

$x \cdot (a + 1) + a \cdot (x + 1) = 2 \cdot a \cdot (a + 1) \to a \cdot x + x + a \cdot x + a = 2 a^{2} + 2 a \to (2 a + 1) \cdot x = a \cdot (2 a + 1)$

$A (a) = 2 \cdot a + 1$ e $B (a) = a \cdot (2 a + 1)$ .

Posto $A (a) = 0 \to a = - \frac{1}{2}$ . Posto $B (a) = 0 \to a = 0 \lor a = - \frac{1}{2}$

$A (a) = 0 \land B (a) = 0 \to a = - \frac{1}{2}$ . L'equazione è indeterminata.
$A (a) = 0 \land B (a) \neq 0 \to False$ .
$A (a) \neq 0 \to a \neq - \frac{1}{2}$ . L'equazione è determinata con $x = \frac{B (a)}{A (a)} = \frac{a \cdot (2 a + 1)}{2 a + 1} = a$ .

Riassumendo:

Se $a = 0 \lor a = - 1$ , l'equazione perde significato
Se $a = - \frac{1}{2}$ , l'equazione è indeterminata
Se $a \neq - \frac{1}{2} \land a \neq - 1 \land a \neq 0$ , l'equazione è determinata con $x = a$