$\frac{2a-6\left(a-1\right)}{1-3x}=\frac{a}{2+3x}$

L'equazione è impossibile se $1-3x=0\to x=\frac{1}{3}$ oppure se $2+3x=0\to x=-\frac{2}{3}$

Il mcm è $\left(1-3x\right)\left(2+3x\right)$. Moltiplicando ambo i membri si ottiene:

$\left(2+3x\right)[2a-6\left(a-1\right)]$=$\left(1-3x\right)a\to \left(2+3x\right)\left(2a-6a+6\right)=a-3\mathrm{ax}\to$

$\to -8a+12-12\mathrm{ax}+18x=a-3\mathrm{ax}\to 9\left(2-a\right)x=3\left(3a-4\right)$

$A\left(a\right)=3\left(2-a\right)$ e $B\left(a\right)=3a-4$.

Per $A\left(a\right)=0\to a=2$ , per $B\left(a\right)=0\to a=\frac{4}{3}$

Prima condizione: $A\left(a\right)=0\wedge B\left(a\right)=0\to \mathrm{Falso}$

Seconda condizione: $A\left(a\right)=0\wedge B\left(a\right)\ne 0\to a=2$. L'equazione è impossibile

Terza condizione: $A\left(a\right)\ne 0\to a\ne 2$. L'equazione è determinata: $x=\frac{B\left(a\right)}{A\left(a\right)}=\frac{3a-4}{3\left(2-a\right)}$

Bisogna comunque imporre $x\ne \frac{1}{3}$. Sostituendo $x=\frac{1}{3}$ nella soluzione si ricava il parametro a: $\frac{1}{3}=\frac{3a-4}{3\left(2-a\right)}\to$

$\to 2-a=3a-4\to 4a=6\to a=\frac{3}{2}$

Bisogna comunque imporre $x\ne -\frac{2}{3}$. Sostituendo $x=-\frac{2}{3}$ nella soluzione si ricava il parametro a: $-\frac{2}{3}=\frac{3a-4}{3\left(2-a\right)}\to$

$\to -4+2a=3a-4\to a=0$

Riepilogo dei risultati dell'equazione in base al valore del parametro a:

• Se a= 2 l'equazione è impossibile
• Se a≠2 ∧ a≠$\frac{3}{2}$ ∧ a≠0 l'equazione è determinata, con soluzione $x=\frac{3a-4}{3(2-a)}$