$\frac{12·a·x-6{\left(a+2\right)}^2}{a·x}+\frac{5·a^{2}x·\left(a+6\right)+48}{a^2{x}^2+2·a·x}=\frac{12·a·x-{\left(a-4\right)}^2}{a·x+2}$

$\frac{12·a·x-6{\left(a+2\right)}^2}{a·x}+\frac{5·a^{2}x·\left(a+6\right)+48}{a·x\left(a·x+2\right)}=\frac{12·a·x-{\left(a-4\right)}^2}{a·x+2}$

L'equazione è senza significato se a= 0.

L'equazione è impossibile per i valori di a per cui x= 0 e $x=-\frac{2}{a}$

Il mcm è $a·x\left(\mathrm{ax}+2\right)$. Moltiplicando ambo i membri si ottiene:

$\left(a·x+2\right)·[12·a·x-6{\left(a+2\right)}^2]+5·a^{2}x·\left(a+6\right)+48=a·x·[12·a·x-{\left(a-4\right)}^2]\to$

$\left(a·x+2\right)·\left(12·a·x-6·a^2-24-24a\right)+5·a^{3}x+30·a^{2}x+48=a·x·\left(12·a·x-a^2-16+8a\right)\to$

$12·a^2{x}^2-6·a^{3}x-24·a·x-24·a^{2}x+24·a·x-12·a^2-48-48·a+5·a^{3}x+30·a^{2}x+48=12·a^2{x}^2-a^{3}x-16·a·x+8·a^{2}x$

$\left(-6·a^3-24·a-24·a^2+24·a+5·a^3+30·a^2+a^3+16·a-8·a^2\right)x=\left(12·a^2+48+48·a-48\right)$

$\left(-2·a^2+16a\right)x=\left(12·a^2+48·a\right)\to 2·a·\left(8-a\right)x=12·a·\left(a+4\right)$

$A\left(a\right)=2·a·\left(8-a\right)$ e $B\left(a\right)=12·a·\left(a+4\right)$

Per $A\left(a\right)=0\to a=0\vee a=8$ , per $B\left(a\right)=0\to a=0\vee a=-4$

Prima condizione: $A\left(a\right)=0\wedge B\left(a\right)=0\to \mathrm{Vero}$ per a= 0 ma in questo caso l'equazione è comunque senza significato

Seconda condizione: $A\left(a\right)=0\wedge B\left(a\right)\ne 0\to a=8$. Per a=8 l'equazione è impossibile

Terza condizione: $A\left(a\right)\ne 0\to a\ne 8\wedge a\ne 0$. L'equazione è determinata: $x=\frac{B\left(a\right)}{A\left(a\right)}=\frac{6\left(a+4\right)}{8-a}$

Bisogna ora imporre $x\ne 0$. Sostituendo $x=0$ nella soluzione si ricava il parametro a: $0=\frac{6\left(a+4\right)}{\left(8-a\right)}\to a=-4$

Bisogna anche imporre $x\ne -\frac{2}{a}$. Sostituendo $x=-\frac{2}{a}$ nella soluzione si ricava il parametro a: $-\frac{2}{a}=\frac{6a+24}{\left(8-a\right)}\to$

$\to -16+2a=6a^2+24·a\to {3·a}^2+11·a+8=0\to 3(a^2+\frac{11}{3}·a+\frac{8}{3})=0$ .

Il trinomio di secondo grado: $a^2+\frac{11}{3}·a+\frac{8}{3}=0$ in fattori è: $\left(a+1\right)\left(a+\frac{8}{3}\right)=0$ e ha soluzioni $a=-1$ e $a=-\frac{8}{3}$.

Per $a=-4\vee a=-1\vee a=-\frac{8}{3}$ la soluzione è impossibile.

Riepilogo dei risultati dell'equazione in base al valore del parametro a:

• Se a= 0 l'equazione è senza significato
• Se $a=8\vee a=-4\vee a=-1\vee a=-\frac{8}{3}$ l'equazione è impossibile
• Se $a\ne 0\wedge a\ne 8\wedge a\ne -4\wedge a\ne -1\wedge a\ne -\frac{8}{3}$ l'equazione è determinata, con soluzione $x=\frac{6\left(a+4\right)}{\mathrm{}8\; -\; a}$