$\frac{x^2}{x^3-3a{x}^2+3a^{2}x-a^3}+\frac{1}{x^2-2\mathrm{ax}+a^2}=\frac{1}{x-a}$

$\frac{x^2}{{\left(x-a\right)}^3}+\frac{1}{{\left(x-a\right)}^2}=\frac{1}{x-a}$

L'equazione è impossibile se x= a.

Il mcm è ${\left(x-a\right)}^3$. Moltiplicando ambo i membri si ottiene: $x^2+x-a={\left(x-a\right)}^2\to x^2+x-a=x^2+a^2-2\mathrm{ax}\to$

$\to \left(1+2a\right)·x=a·\left(1+a\right)$

In questo caso: $A\left(a\right)=1+2a$ e $B\left(a\right)=a·\left(1+a\right)$

Posto A(a)= 0 si ricava $a=-\frac{1}{2}$ e posto B(a)=0 si ricava $a=0\vee a=-1$

1. $A\left(a\right)=0\wedge B\left(a\right)=0\to \mathrm{False}$.
2. $A\left(a\right)=0\wedge B\left(a\right)\ne 0\to a=-\frac{1}{2}$. Per $a=-\frac{1}{2}$ l'equazione è impossibile.
3. $A\left(a\right)\ne 0\to a\ne -\frac{1}{2}$ l'equazione è determinata. Si ricava: $x=\frac{B\left(a\right)}{A\left(a\right)}=\frac{a·\left(1+a\right)}{1+2a}$

   Infine posto x = a, sostituendo nella soluzione, si ricava: $a=\frac{a\left(1+a\right)}{1+2a}\to 1+2a=1+a\to a=0$.

Per a = 0 l'equazione è impossibile.

Riassumendo:

Per $a=-\frac{1}{2}\vee a=0$ l'equazione è impossibile

Per $a\ne -\frac{1}{2}\wedge a\ne 0$ l'equazione è determinata con soluzione $x=\frac{a\left(1+a\right)}{1+2a}$