N° 8 Equazioni Parametriche

$\frac{a^{2} + x}{a} - \frac{3 x + 4 a}{a + 3} + 4 - \frac{3}{a^{2} + 3 a} = \frac{ax + 13}{a + 3}$

L'equazione perde significato se a = 0 ∨ a = -3

Il mcm è $a \cdot (a + 3)$ . Moltiplicando l'equazione con il mcm si ottiene: $(a + 3) \cdot (a^{2} + x) - a \cdot (3 x + 4 a) + 4 a \cdot (a + 3) - 3 = a \cdot (a \cdot x + 13) \to$

$\to a^{3} + a \cdot x + 3 \cdot a^{2} + 3 \cdot x - 3 a \cdot x - 4 a^{2} + 4 a^{2} + 12 a - 3 = a^{2} x + 13 a \to$

$\to (a + 3 - 3 a - a^{2}) \cdot x = - a^{3} - 3 a^{2} - 12 a + 3 + 13 a \to$

$\to (a^{2} + 2 a - 3) \cdot x = a^{3} + 3 a^{2} - a - 3$

$A (a) = a^{2} + 2 a - 3 = (a - 1) (a + 3)$ e $B (a) = (a - 1) (a^{2} + 4 a + 3) = (a - 1) (a + 1) (a + 3)$

$A (a) = 0 \land B (a) = 0 \to a = 1 \lor a = - 3$ . Ma per a = - 3 l'equazione perde di significato. Quindi solo per a = 1 l'equazione è indeterminata.
$A (a) = 0 \land B (a) \neq 0 \to False$ .
$A (a) \neq 0$ . Questo accade se $a \neq 1 \land a \neq - 3$ . In questo caso l'equazione è determinata: $x = \frac{B (a)}{A (a)} = a + 1$

Riassumendo:

Se $a = 0 \lor a = - 3$ l'equazione è senza signficato
Se $a = 1$ l'equazione è indeterminata
Se $a \neq 1 \land a \neq 0 \land a \neq - 3$ l'equazione è determinata. Soluzione: $x = a + 1$