Il dominio della funzione è
R
. Se in x=0 v'è un punto di flesso orizzontale deve essere che
f
'
⁡
(
0
)
=
0
.
f
'
⁡
(
x
)
=
(
x
3
⋅
e
-
x
)
'
=
3
x
2
⋅
e
-
x
-
x
3
⋅
e
-
x
=
x
2
e
-
x
⋅
(
3
-
x
)
. È evidente che
f
'
⁡
(
0
)
=
0.
Ora
f
⁡
(
0
)
=
0
, quindi deve essere verificato:
che
f
⁡
(
x
)
≤
f
⁡
(
0
)
=
0
per
x
≤
0
.
Si trova che
x
3
e
-
x
≤
0
e ha soluzione
x
≤
0
(dato che
e
-
x
≥
0
∀
x
∈
R
).
che
f
⁡
(
x
)
≥
f
⁡
(
0
)
=
0
per
x
≥
0
.
Si trova che
x
3
e
-
x
≥
0
e ha soluzione
x
≥
0
(dato che
e
-
x
≥
0
∀
x
∈
R
).
Allora in x=0 la
f
⁡
(
x
)
=
x
3
⋅
e
-
x
ha un flesso ascendente a tangente orizzontale.