f(x)= sin(x) - ln(2x) in [1; 2]

METODO DI BISEZIONE
a
b
c=(a+b)/2
f(a)=sin(a) - ln(2·a)
f(b)=sin(b) - ln(2·b) f(c)=sin(c) - ln(2·c) Segno f(a)·f(c)
ε=|b-a|
1
2
3/2
0.14832..
-0.47699..
-0.10111.. < 0
1
1
3/2 5/4
0.14832.. -0.10111.. 0.03269..
> 0
1/2
5/4 3/2
11/8
0.03269.. -0.10111.. -0.03070..
< 0
1/4
5/4
11/8 21/16
0.03269..
-0.03070.. 0.0017456...
>0
1/8
21/16 11/8
43/32
0.0017456... -0.03070..
-0.0142756..
<0
1/16
21/16
43/32 85/64
0.0017456
-0.0142756.. -0.0062156...
<0
1/32



METODO DELLE SECANTI

f"(x)= -sin(x) +1/2x² .    f"(1)=0.15.. >0 e f"(2)= -0.65.. <0.
Quindi v
iene meno la condizione della costante concavità nell'intervallo considerato [1;2].
Dividendo in due l'intervallo si ottengono i due intervalli: [1; 3/2] e [3/2; 2]. Il teorema di esistenza degli zeri è soddisfatto solo per l'intervallo [1; 3/2];  infatti per tale intervallo f(3/2)= -0.101...  e f(1)= 0.148.. . Tuttavia f"(3/2)= -0.553.. e f"(1)=0.15.. . Viene di nuovo meno la condizione della costante concavità nell'intervallo considerato [1; 3/2]. Dividendo in quattro parti l'intervallo [1;2] si ottengono i sotto-intervalli: [1;5/4], [5/4; 3/2]; [3/2; 7/4]; [7/4; 2].
I valori della funzione sono in questi estremi: f(1)= 0.148..; f(5/4)= 0.032..; f(3/2)= -0.101..; f(7/4)= -0.268; f(2)= -0.476.. È evidente che solo il sotto-intervallo [5/4; 3/2] soddisfa il teorema di esistenza degli zeri. Inoltre f"(5/4)= -0308.. e f"(3/2)= -0.553.. La condizione della costanza della concavità della funzione viene rispettata.
Quindi il metodo delle secanti sarà applicato all'interno dell'intervallo [5/4; 3/2] con la condizione f"(x)·f(3/2) > 0
.
a
c=b- b-a f(b)-f(a) f(b)=1.5- 1.5-a sin(1.5)-ln(3)-sin(a)+ln( 2a ) [ sin(1.5)-ln(3) ]
f(c)
ε=|a-c|
1.25
   1.3110821255   
0.0024633852    0.0610821255
1.3110821255
      1.3155750238      
0.0001864183    0.0044928983
1.3155750238
   1.3159144011   
0.000014106       0.0003393773


METODO DELLE TANGENTI

f"(x)= -sin(x) +1/2x² .    f"(1)=0.15.. >0 e f"(2)= -0.65.. <0.
Quindi v
iene meno la condizione della costante concavità nell'intervallo considerato [1;2].
Dividendo in due l'intervallo si ottengono i due intervalli: [1; 3/2] e [3/2; 2]. Il teorema di esistenza degli zeri è soddisfatto solo per l'intervallo [1; 3/2];  infatti per tale intervallo f(3/2)= -0.101...  e f(1)= 0.148.. . Tuttavia f"(3/2)= -0.553.. e f"(1)=0.15.. . Viene di nuovo meno la condizione della costante concavità nell'intervallo considerato [1; 3/2]. Dividendo in quattro parti l'intervallo [1;2] si ottengono i sotto-intervalli: [1;5/4], [5/4; 3/2]; [3/2; 7/4]; [7/4; 2].
I valori della funzione sono in questi estremi: f(1)= 0.148..; f(5/4)= 0.032..; f(3/2)= -0.101..; f(7/4)= -0.268; f(2)= -0.476.. È evidente che solo il sotto-intervallo [5/4; 3/2] soddisfa il teorema di esistenza degli zeri. Inoltre f"(5/4)= -0308.. e f"(3/2)= -0.553.. La condizione della costanza della concavità della funzione viene rispettata.
Quindi il metodo delle tangenti sarà applicato all'interno dell'intervallo [5/4; 3/2] con la condizione f"(x)·f(3/2) > 0.


b
c=b- f(b) f'(b) =b- sin(b)-ln( 2b ) cos(b)- 1 b

f(c)

ε=|b-c|
  1.5           1.330320016     
-0.0073420631 
0.169679984
1.330320016            1.317035047      
-0.0005551995 0.013284969
 1.317035047              1.3160249045      
-0.000042010   0.0010101425