N° 11 Progressioni Aritmetiche

Determina cinque numeri in progressione aritmetica sapendo che la somma del primo, terzo e quinto termine è 12

e che la somma dei quadrati del secondo e quarto è 65/2.

Dai dati conosciuti: ${\begin{matrix} a_{1} + a_{3} + a_{5} = 12 \\ a_{2}^{2} + a_{4}^{2} = \frac{65}{2} \end{matrix}$

Occorre esprimere tutti i termini in funzione del numero differenza e del primo termine e sostituire nelle relazioni date:

${\begin{matrix} a_{1} + a_{1} + 2 d + a_{1} + 4 d = 12 \\ {(a_{1} + d)}^{2} + {(a_{1} + 3 d)}^{2} = \frac{65}{2} \end{matrix} \to {\begin{matrix} 3 \cdot a_{1} + 6 \cdot d = 12 \\ a_{1}^{2} + d^{2} + 2 \cdot a_{1} \cdot d + a_{1}^{2} + 9 \cdot d^{2} + 6 \cdot a_{1} \cdot d = \frac{65}{2} \end{matrix} \to {\begin{matrix} a_{1} + 2 \cdot d = 4 \\ 4 \cdot a_{1}^{2} + 16 d \cdot a_{1} + 20 \cdot d^{2} = 65 \end{matrix}$

Si ricava a₁= 4 - 2·d e si sostituisce nell'equazione di 2° grado:

$4 \cdot {(4 - 2 d)}^{2} + 16 d \cdot (4 - 2 \cdot d) + 20 \cdot d^{2} = 65 \to 64 + 16 \cdot d^{2} - 64 \cdot d + 64 \cdot d - 32 \cdot d^{2} + 20 \cdot d^{2} = 65 \to 4 \cdot d^{2} = 1 \to d = \frac{1}{2}$

Noto il numero differenza si possono ricavare tutti gli altri termini: ${\begin{matrix} a_{1} = 4 - 2 \cdot d = 3 \\ a_{2} = a_{1} + d = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \\ a_{3} = a_{2} + d = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = 4 \\ a_{4} = a_{3} + d = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \\ a_{5} = a_{4} + d = \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = 5 \end{matrix}$