N° 13 Progressioni Aritmetiche

La somma degli otto termini di una progressione aritmetica è 128. Il terzo termine è 10. Determina i termini della progressione.

La somma degli n termini di una progressione aritmetiche è data con la formula: $S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$ .

In questo caso: $S_{8} = \frac{a_{1} + a_{8}}{2} \cdot 8 = 128 \to a_{1} + a_{8} = 32$ .

L'ottavo termine può essere espresso in funzione del primo e della differenza: $a_{8} = a_{1} + (8 - 1) \cdot d = a_{1} + 7 \cdot d$ .

Sostituendo nella precedente relazione: $a_{1} + a_{1} + 7 \cdot d = 32 \to 2 a_{1} + 7 d = 32$

Inoltre $a_{3} = a_{1} + (3 - 1) \cdot d = a_{1} + 2 \cdot d = 10$ . Si ottengono così due equazioni a due incognite: ${\begin{matrix} 2 a_{1} + 7 d = 32 \\ a_{1} + 2 d = 10 \end{matrix}$

Sottraendo il doppio della seconda dalla prima: $2 a_{1} + 7 d - 2 \cdot (a_{1} + 2 d) = 32 - 20 \to 7 d - 4 d = 12 \to 3 d = 12 \to d = 4$ si ricava la differenza

dalla seconda si può ricavare a₁: $a_{1} = 10 - 2 d = 10 - 8 = 2$

Gli otto termini sono: a₁= 2; a₂= 2 + 4 = 6; a₃= 6 + 4 = 10; a₄= 10 + 4 = 14; a₅= 14 + 4 = 18; a₆= 18 + 4 = 22; a₇= 22 + 4 = 26; a₈= 26 + 4 = 30