Un triangolo rettangolo è inscritto in un cerchio di raggio uguale all'altezza del triangolo equilatero di lato a.

Trovare i lati, sapendo che i quadrati costruiti su di esi sono in progressione aritmetica .

L'altezza del triangolo equilatero, noto il lato, è : h = a · 3 2 . Il raggio del cerchio r è uguale all'altezza, quindi r = h = a · 3 2 .

L'ipotenusa deve essere uguale al diametro: c= 2·r = 2 a · 3 2 = a · 3

La condizione che i quadrati dei lati sono in progressione è : c2= b2 + d e b2 =e2 + d, d è la differenza.

Inoltre , per Teorema di Pitagora, c2 = b2 + e2 .

Mettendo insieme le relazioni si può ricavare la differenza: c2 = c2 - d + c2 - 2·d → 3·d= c2 = 3·a2 →d = a2.

Nota la differenza d possono ricavare le misure di tutti i lati : b2 = c2 - d = 3·a2 - a2 = 2a2 → b= 2 ·a .

Infine e2= b2 - d = 2a2 -a2 = a2

Quindi i lati del triangolo rettangolo sono lunghi: a, a 2 , a 3