N° 3 Progressioni Aritmetiche

Trovare i lati di un trapezio isoscele, sapendo che la base minore, il lato obliquo e la base maggiore sono in progressione aritmetica

e che la somma di questi lati è 15 m, mentre la somma dei quadrati dei quatro lati è 108 m².

a₁, a₂ e a₃ sono, rispettivamente, la base minore, il lato obliquo e la base maggiore del trapezio isoscele.

Poichè sono in progressione aritmetica si ha: a₂= a₁ +d e a₃= a₁ + 2d.

Inoltre la loro somma è S₃ =a₁ + a₂ + a₃ = 15 m e si sa che: $a_{1}^{2} + 2 \cdot a_{2}^{2} + a_{3}^{2} = 108$ m².

Sostituizione di a₂ e a₃ in S₃: a₁ + a₁ + d + a₁ + 2d = 3·a₁ + 3d = 15→a₁ + d = 5. Da cui a₁= 5 - d

Sostituzione di a₂ e a₃ nella somma dei quadrati: $a_{1}^{2} + 2 \cdot {(a_{1} + d)}^{2} + {(a_{1} + 2 \cdot d)}^{2} = a_{1}^{2} + 2 \cdot a_{1}^{2} + 2 \cdot d^{2} + 4 \cdot a_{1} d + a_{1}^{2} + 4 \cdot d^{2} + 4 \cdot a_{1} \cdot d = 4 \cdot a_{1}^{2} + 8 \cdot a_{1} \cdot d + 6 \cdot d^{2} = 108$

Sostituendo a₁: $2 \cdot {(5 - d)}^{2} + 4 \cdot (5 - d) \cdot d + 3 \cdot d^{2} = 54 \to 50 + 2 \cdot d^{2} - 20 \cdot d + 20 \cdot d - 4 d^{2} + 3 d^{2} = 54 \to d^{2} = 4 \to d = 2$ m e a₁= 3 m

Da cui anche a₂ = a₁ + d = 3 + 2 = 5 cm e a₃= 7 m