Determinare un numero di tre cifre, che formano una progressione aritmetica,

sapendo che il numero ottenuto scrivendo le cifre in ordine inverso supera quello incognito di 33 volte la somma delle cifre di questo,

mentre la somma della nona parte del primo, con la terza parte del numero incognito, è uguale a 230.

Il numero incognito è xyz, mentre il numero ottenuto scrivendo le cifre in ordine inverso è zyx.

La prima condizione è : zyx = 33·(x + y + z) +xyz ( il numero ottenuto scrivendo le cifre in ordine inverso supera quello incognito di 33 volte la somma delle cifre di questo )

La seconda condizione è: $\frac{\mathrm{zyx}}{9}+\frac{\mathrm{xyz}}{3}=230$ ( la somma della nona parte del primo, con la terza parte del numero incognito, è uguale a 230 )

La prima condizione si può scrivere: 100·z + 10·y + x = 33x +33y + 33z + 100x + 10y + z .

Da cui l'equazione: 132·x + 33·y - 66·z = 0. Semplificando: 4x + y - 2z = 0

La seconda condizione si può scrivere: $\frac{100·z+10·y+x}{9}+\frac{100·x+10·y+z}{3}=230$.

Da cui: 100·z + 10·y + x + 300·x + 30·y + 3·z = 2070→103·z +40·y + 301·x = 2070

Infine se le cifre sono in progressione aritmetica (nell'ordine da sinistra a destra) si ha: $\{\begin{array}{c}y-x=d\\ z-y=d\end{array}$o anche: z - y = y - x

Le tre condizioni portano ad un sistema di tre equazioni a tre incognite: $\{\begin{array}{c}4x+y-2z=0\\ 301x+40y+103z=2070\\ x-2y+z=0\end{array}$

Si può risolvere il sistema con il metodo di riduzione.

Sommando il doppio della prima alla terza si ottiene: 9x - 3z = 0 → z = 3x

Sommando la seconda con venti volte la terza si ottiene: 321·x + 123·z = 2070.

Sostituendo in questa ultima equazione z = 3x: 321x + 123·3x = 2070 →690·x = 2070 → x = 3 , da cui anche z = 3·x= 9 e y= 2·z - 4·x= 2·9 - 4·3= 18 - 12 = 6