N° 13 Progressioni Geometriche

Quattro numeri sono in progressione geometrica e la loro somma è 75.

La progressione è crescente e l'ultimo e il quadruplo del secondo. Trova i quattro numeri.

La prima condizione è la somma dei quattro termini della progressione geometrica: $S_{4} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q} = 75$

La seconda condizione è: $a_{4} = 4 \cdot a_{2}$ . Dalla definizione di progressione geometrica: $a_{1} \cdot q^{3} = 4 \cdot a_{1} \cdot q \to q^{2} = 4 \to q = 2$ (la progressione è crescente).

Con la formula della somma si ricava il primo termine: $a_{1} \cdot \frac{1 - 2^{4}}{1 - 2} = 75 \to a_{1} \cdot 15 = 75 \to a_{1} = \frac{75}{15} = 5$

Gli altri termini: $a_{2} = a_{1} \cdot q = 5 \cdot 2 = 10$ ; $a_{3} = a_{2} \cdot q = 10 \cdot 2 = 20$ ; $a_{4} = a_{3} \cdot q = 20 \cdot 2 = 40$