N° 2 Progressioni Geometriche

Nel cerchio iscritto in un triangolo equilatero di lato l si inscriva un triangolo equilatero, ripetendo indefinitamente tali costruzioni.

Si calcoli la somma delle aree degli infiniti triangoli equilateri così ottenuti e quella delle aree degli infiniti cerchi.


Osservando la figura si può dedurre che il lato del triangolo equilatero ricavato dopo la prima costruzione è la metà del lato del primo triangolo equilatero. Dato che l'area di un triangolo equilatero, noto il lato, è $S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot l^{2}$ si ha che : $S_{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot {(\frac{l}{2})}^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{l^{2}}{4} = \frac{S_{1}}{4}$ Quindi le aree sono in progressione geometrica con ragione q= 1/4. L'area della circonferenza inscritta in un triangolo equilatero è data dalla formula : $A = \frac{π {\cdot l}^{2}}{12}$ Anche queste aree sono in progressione geometrica, perchè dipendono dal lato, con ragione q= 1/4. Poichè la ragione è minore di uno queste progresioni geometriche sono convergenti. In questo la somma degli infiniti temini è convergente e si calcola con la formula: $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q}$

Per la somma delle aree degli infiniti triangoli equilateri si ricava:

$S_{\infty} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot l^{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot l^{2}$

Per la somma delle aree degli infiniti cerchi si ricava:

$A_{\infty} = \frac{\frac{π l^{2}}{12}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{9} \cdot π \cdot l^{2}$