Chiamiamo a, b e c le misure dei lati del triangolo e q la ragione.
Sia b=a·q e c= a·q² , dalle ulteriori ipotesi possiamo scrivere: $$\begin{cases} a+b+c=65\,m \\ \frac{c}{a+b}=\frac{9}{4} \end{cases}$$
Sostituiamo b e c:  $$\begin{cases} a+aq+aq^2=65\,m \\ \frac{aq^2}{a+aq}=\frac{9}{4} \end{cases}$$Dalla seconda si ricava che :$$4q^2=9\left(1+q\right)⇒4q^2-9q-9=0⇒q=\frac{9±\sqrt{81+144}}{8}=\frac{9±15}{8}=\begin{cases} \frac{24}{8}=3 \\ -\frac{6}{8} \end{cases}$$
La soluzione accettabile è q=3 perché le misure sono grandezze definite positive.
Dalla prima, noto q, ricaviamo a: $$a=\frac{65}{1+q+q^2}\,m=\frac{65}{1+3+9}\,m=5\,m$$
da cui anche b= 15 m e c= 45 m