N° 3 Progressioni Geometriche

È data una circonferenza di raggio r tangente ai due lati di un angolo retto.

Si inscriva un'altra circonferenza tangente alla precedente ed ai lati dell'angolo, nella parte di piano lasciato libero dalla prima, e così via.

Trovare la somma di tutti i raggi delle circonferenze così ottenute.


Osservando la figura si può dedurre che: La prima circonferenza ha centro di coordinate (r,r). La seconda circonferenza è tangente alla prima circonferenza in un punto P di coordinate $x_{P} = y_{P} = r \cdot (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$ Tutti i centri delle circonferenze appartengono alla bisettrice del primo e terzo quadrante. La distanza del centro della seconda circonferenza da P deve essere uguale a r₂. Da cui: $2 \cdot {(r - r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - r_{2})}^{2} = r_{2}^{2} \to \sqrt{2} \cdot (r - r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - r_{2}) = \pm r_{2} \to {\begin{matrix} \sqrt{2} \cdot (r - r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - r_{2}) = r_{2} \\ \sqrt{2} \cdot (r - r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - r_{2}) = - r_{2} \end{matrix} \to$ $\to {\begin{matrix} \sqrt{2} \cdot r - r - r_{2} \cdot \sqrt{2} = r_{2} \\ \sqrt{2} \cdot r - r - r_{2} \cdot \sqrt{2} = - r_{2} \end{matrix} \to {\begin{matrix} r_{2} \cdot (\sqrt{2} + 1) = r \cdot (\sqrt{2} - 1) \\ r_{2} \cdot (\sqrt{2} - 1) = r \cdot (\sqrt{2} - 1) \end{matrix} \to {\begin{matrix} r_{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \cdot r = \frac{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} \cdot r = (3 - 2 \cdot \sqrt{2}) \cdot r \\ r_{2} = r \end{matrix}$ Quindi i centri delle circonferenze sono in una progressione geometrica convergente con $q = 3 - 2 \cdot \sqrt{2}$

La somma di tutti i raggi delle infinite circonferenze è data dalla formula : $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{r}{1 - 3 + 2 \sqrt{2}} = \frac{r}{2 \sqrt{2} - 2} = \frac{r}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} \cdot r$