In un parallelepipedo rettangolo la somma delle tre dimensioni è 2 m e la superficie totale 252 m².

Trovare la misure, in m, delle tre dimensioni, sapendo che sono in progressione geometrica



Dette a1, a2 e a3 le tre dimensioni, se sono in progressione geometrica, si ha : a2= a1·q e a3= a1·q².

La loro somma è 21 m: a1 + a2 + a3 = a1 + a1·q + a1·q² → a1·(1 + q + q²) = 21 (1)

La superficie totale di un parallelepipedo è data dalla somma delle superfici delle sei facce: ST=2·(a1·a2 + a1·a3 + a2·a3) = 252 m².

Sostituendo a2 e a3 : 126 = a1²·q + a1²·q² + a1²·q³→a1²·q·(1 + q + q²) = 126 . In questa ultima espressione si riconosce l'espressione già ricavata (1).

Sostituendo si ha: a1·q ·21 = 126 →a1.q = 6.

Ora si ricava a1 = 6/q e lo si sostituisce nella (1): (6/q)·(1 + q + q²) = 21 → 6 + 6·q + 6·q² = 21·q→6·q² - 15·q + 6 = 0

È questa un'equazione di secondo grado. Soluzione: q = 15 ± 225 144 12 = 15 ± 81 12 = 15 ± 9 12 = { 15 + 9 12 = 24 12 = 2 15 9 12 = 1 2

Le due soluzioni sono equivalenti perchè se q= 2 allora a1 è la dimensione minore e se q= 1/2 allora a1 è la dimensione maggiore.

Scelta q= 2 si trova a1= 6/q = 3 m e a2= a1·q= 3·2= 6 m e a3= a1·q²= 3·2²=12 m