N° 5 Progressioni Geometriche

Condurre un piano parallelo alla base di un cono, di altezza h e raggio r, che passi per il punto di mezzo dell'altezza.

Operare analogamente sul cono così staccato, e ripetere indefinitivamente l'operazione.

Calcolare la somma delle infinite aree di base e dei volumi degli infiniti coni così ottenuti


La prima area di base è $S_{1} = π {\cdot r}^{2}$ , la seconda area di base, sarà : $S_{2} = π {(\frac{r}{2})}^{2} = \frac{π \cdot r^{2}}{4} = \frac{S_{1}}{4}$ Quindi le aree di base sono in progressione geoemetrica di ragione 1/4. La somma delle infinite aree (la ragione è minore di uno) è finita: $S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{π \cdot r^{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} \cdot π r^{2}$ Il primo volume è $V_{1} = \frac{S_{1}}{3} \cdot h$ . Il secondo volume è: $V_{2} = \frac{S_{2}}{3} \cdot \frac{h}{2} = \frac{S_{1}}{4} \cdot \frac{h}{6} = \frac{1}{8} \cdot \frac{S_{1} \cdot h}{3} = \frac{V_{1}}{8}$ Da cui la ragione della progressione geometrica dei volumi è: q= $\frac{1}{8}$ La somma degli infiniti volumi è finita: $V_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{π r^{2}}{3} \cdot h \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{8}{21} \cdot π r^{2} \cdot h$