In un quadrilatero il perimetro è 45 m, mentre la somma delle lunghezze dei due lati minori è 9 m.

Determinare le misure, in metri, dei lati sapendo che sono in progressione geometrica

a₁, a₂, a₃ e a₄ sono i lati del quadrilatero e sono in progressione geometrica.

Noto il perimetro si può scrivere: 45= a₁ + a₂ + a₃ + a₄ →a₁ + a₁·q + a₁·q² + a₁·q³ = a₁·(1 + q + q² + q³)= 45

La somma delle lunghezze dei lati minori è 9 m: a₁ + a₂ = 9 → a₁·(1 + q) = 9 → $a_1=\frac{9}{1+q}$.

Sostituendo nel perimetro: $\frac{9}{1+q}·\left(1+q+q²+q³\right)=45\to 1+q+q²+q³=5·\left(1+q\right)\to q³+q²-4q-4=0$

Si ottiene una equazione di terzo grado. Applicando il Teorema di Ruffini si trova che q= 1 è una radice dell'equazione (divisore del termine di grado zero).

Da cui: q³ + q² - 4q - 4 = (q +1)·(q² - 4) = 0. Unica soluzione positiva è q = 2. Nota la ragione il primo lato è: $a_1=\frac{9}{1+2}=3$m.

Gli altri lati: a₂= a₁·q= 2·3 m = 6 m ; a₃ = a₂·q= 6·2= 12 m e a₄= a₃·q= 12·2= 24 m