N° 8 Progressioni Geometriche

Inscrivere in un cubo di spigolo s, una sfera, nella sfera un nuovo cubo, e così all'infinito.

Calcola la somma delle aree delle infinite superfici sferiche così ottenute.


Si conosce lo spigolo s₁= s del cubo. Il raggio della prima sfera è la metà dello spigolo del cubo: $r_{1} = \frac{s}{2}$ La superficie della prima sfera è : $S_{1} = 4 π \cdot r_{1}^{2} = 4 π {(\frac{s}{2})}^{2} = π \cdot s^{2}$ La diagonale interna del secondo cubo è uguale al diametro della prima sfera: $d_{2} = 2 \cdot r_{1} = s$ Lo spigolo del secondo cubo si ricava con il Teorema di Pitagora in 3D: $d_{2} = \sqrt{s_{2}^{2} + s_{2}^{2} + s_{2}^{2}} = s_{2} \cdot \sqrt{3} \to s_{2} = \frac{d_{2}}{\sqrt{3}} = \frac{s}{\sqrt{3}}$ Il raggio della seconda sfera è la metà dello spigolo del secondo cubo: $r_{2} = \frac{s_{2}}{2} = \frac{s}{2 \sqrt{3}}$ La superficie della seconda sfera è: $S_{2} = 4 π \cdot r_{2}^{2} = 4 π \cdot {(\frac{s}{2 \sqrt{3}})}^{2} = \frac{π \cdot s^{2}}{3}$ La ragione della progressione geometrica delle superfici delle sfere è : $q = \frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{\frac{π \cdot s^{2}}{3}}{π \cdot s^{2}} = \frac{1}{3}$

La somma infinita delle superfici delle sfere: $S_{\infty} = \frac{S_{1}}{1 - q} = \frac{π \cdot s^{2}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \cdot π \cdot s^{2}$