∑
k
=
1
n
(
2
k
-
1
)
=
n
2
\sum_{k=1}^{n}\,\left(2k-1\right)=n^2
Proviamo l'identità con k=1:
2
⋅
1
-
1
=
1
2
⇒
1
=
1
2\cdot1-1=1^2⇒1=1
Ora assumiamo valida l'identità quando k=n e verifichiamo se è ancora valida quando k= n+1:
∑
k
=
1
n
+
1
(
2
k
-
1
)
=
(
n
+
1
)
2
\sum_{k=1}^{n+1}\,\left(2k-1\right)=\left(n+1\right)^2
ma se è valida quando k=n deve essere vero che:
∑
k
=
1
n
+
1
(
2
k
-
1
)
=
∑
k
=
1
n
(
2
k
-
1
)
+
2
(
n
+
1
)
-
1
=
n
2
+
2
(
n
+
1
)
-
1
=
n
2
+
2
n
+
1
\sum_{k=1}^{n+1}\,\left(2k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\,\left(2k-1\right)+2\left(n+1\right)-1=n^2+2\left(n+1\right)-1=n^2+2n+1
Eguagliamo le due espressioni:
n
2
+
2
n
+
1
=
(
n
+
1
)
2
n^2+2n+1=\left(n+1\right)^2