$$Se\,\,x>-1⇒\left(1+x\right)^n \ge 1+nx$$
Proviamo la disuguaglianza con n=1: $$\left(1+x\right)\ge1+x$$

Ora assumiamo la disuguaglianza  valida per k=n e proviamo la validità quando k= n+1:

$$\left(1+x\right)^{n+1}=\left(1+x\right)^n\left(1+x\right)\ge\left(1+nx\right)\left(1+x\right)$$
L'ultima disuguaglianza è valida perché abbiamo assunto che $\left(1+x\right)^n\ge1+nx$ .

Moltiplichiamo i due binomi: $$\left(1+x\right)^{n+1}\ge1+x+nx+nx^2=1+\left(n+1\right)x+nx^2>1+\left(n+1\right)x$$
L'ultima disuguaglianza è evidente per che il quadrato di un numero è positivo.
Si deduce, in conclusione che: $$\left(1+x\right)^{n+1}\ge1+\left(n+1\right)x$$
Disuguaglianza che dimostra, secondo il principio di induzione, la disuaglianza in ipotesi