n
2
>
2
n
+
1
n^2>2n+1
Proviamo la disuguaglianza con n=1:
3
2
>
2
⋅
3
+
1
⇒
9
>
7
3^2>2\cdot3+1⇒9>7
Ora assumiamo valida la disuguaglianza quando k=n e verifichiamo se è ancora valida quando k= n+1:
(
n
+
1
)
2
>
2
(
n
+
1
)
+
1
⇒
n
2
+
2
n
+
1
>
2
n
+
2
+
1
⇒
n
2
>
2
\left(n+1\right)^2>2\left(n+1\right)+1⇒n^2+2n+1>2n+2+1⇒n^2>2
che è vera per ogni n > 1