∑
k
=
1
n
1
k
(
k
+
1
)
=
n
n
+
1
\sum_{k=1}^{n}\,\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{n}{n+1}
Proviamo l'identità con k=1:
1
1
(
1
+
1
)
=
1
1
+
1
⇒
1
2
=
1
2
\frac{1}{1\left(1+1\right)}=\frac{1}{1+1}⇒\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
Ora assumiamo valida l'identità quando k=n e verifichiamo se è ancora valida quando k= n+1:
∑
k
=
1
n
+
1
1
k
(
k
+
1
)
=
n
+
1
n
+
1
+
1
\sum_{k=1}^{n+1}\,\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{n+1}{n+1+1}
ma se è valida quando k=n deve essere vero che:
∑
k
=
1
n
+
1
1
k
(
k
+
1
)
=
∑
k
=
1
n
1
k
(
k
+
1
)
+
1
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
=
n
n
+
1
+
1
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
\sum_{k=1}^{n+1}\,\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\sum_{k=1}^{n}\,\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}
Eguagliamo le due espressioni:
n
+
1
n
+
2
=
n
n
+
1
+
1
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
⇒
(
n
+
1
)
2
=
n
(
n
+
2
)
+
1
⇒
n
2
+
2
n
+
1
=
n
2
+
2
n
+
1
\frac{n+1}{n+2}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}⇒\left(n+1\right)^2=n\left(n+2\right)+1⇒n^2+2n+1=n^2+2n+1