∑
k
=
1
n
4
k
=
2
n
(
n
+
1
)
\sum_{k=1}^{n}\,4k=2n\left(n+1\right)
Proviamo l'identità con k=1:
4
⋅
1
=
2
⋅
1
(
1
+
1
)
⇒
4
=
4
4\cdot1=2\cdot1\left(1+1\right)⇒4=4
Ora assumiamo valida l'identità quando k=n e verifichiamo se è ancora valida quando k= n+1:
∑
k
=
1
n
+
1
4
k
=
2
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
\sum_{k=1}^{n+1}\,4k=2\left(n+1\right)\left(n+2\right)
ma se è valida quando k=n deve essere vero che:
∑
k
=
1
n
+
1
4
k
=
∑
k
=
1
n
4
k
+
4
(
n
+
1
)
=
2
n
(
n
+
1
)
+
4
(
n
+
1
)
\sum_{k=1}^{n+1}\,4k=\sum_{k=1}^{n}\,4k+4\left(n+1\right)=2n\left(n+1\right)+4\left(n+1\right)
Eguagliamo le due espressioni:
2
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
=
2
n
(
n
+
1
)
+
4
(
n
+
1
)
⇒
2
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
=
2
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
2\left(n+1\right)\left(n+2\right)=2n\left(n+1\right)+4\left(n+1\right)⇒2\left(n+1\right)\left(n+2\right)=2\left(n+2\right)\left(n+1\right)