∑
k
=
1
n
(
5
k
+
2
)
=
n
(
5
n
+
9
)
2
\sum_{k=1}^{n}\,\left(5k+2\right)=\frac{n\left(5n+9\right)}{2}
Proviamo l'identità con k=1:
(
5
⋅
1
+
2
)
=
1
(
5
⋅
1
+
9
)
2
⇒
7
=
7
\left(5\cdot1+2\right)=\frac{1\left(5\cdot1+9\right)}{2}⇒7=7
Ora assumiamo valida l'identità quando k=n e verifichiamo se è ancora valida quando k= n+1:
∑
k
=
1
n
+
1
(
5
k
+
2
)
=
(
n
+
1
)
[
5
(
n
+
1
)
+
9
]
2
\sum_{k=1}^{n+1}\,\left(5k+2\right)=\frac{\left(n+1\right)\left[5\left(n+1\right)+9\right]}{2}
ma se è valida quando k=n deve essere vero che:
∑
k
=
1
n
+
1
(
5
k
+
2
)
=
∑
k
=
1
n
(
5
k
+
2
)
+
[
5
(
n
+
1
)
+
2
]
=
n
(
5
n
+
9
)
2
+
[
5
(
n
+
1
)
+
2
]
\sum_{k=1}^{n+1}\,\left(5k+2\right)=\sum_{k=1}^{n}\,\left(5k+2\right)+\left[5\left(n+1\right)+2\right]=\frac{n\left(5n+9\right)}{2}+\left[5\left(n+1\right)+2\right]
Eguagliamo le due espressioni:
(
n
+
1
)
[
5
(
n
+
1
)
+
9
]
2
=
n
(
5
n
+
9
)
2
+
[
5
(
n
+
1
)
+
2
]
⇒
\frac{\left(n+1\right)\left[5\left(n+1\right)+9\right]}{2}=\frac{n\left(5n+9\right)}{2}+\left[5\left(n+1\right)+2\right]⇒
⇒
5
n
2
+
10
n
+
5
+
9
n
+
9
=
5
n
2
+
9
n
+
10
n
+
10
+
4
⇒5n^2+10n+5+9n+9=5n^2+9n+10n+10+4