$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^x}{n^2+{\mid x\mid }^n}$

e determinare se tale serie converge uniformemente nell'intervallo [-½,½].

Verifichiamo la condizione necessaria.

Se x=0 la serie diventa: $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^0}{n^2+0^n}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ ed è convergente.

Se x>1 il termine n-esimo della serie $\frac{n^x}{n^2+x^n}\sim \frac{n^x}{x^n}$ e $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{n^x}{x^n}=0$ ed è quindi soddisfatta la condizione necessaria.

Infatti $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{n^x}{x^n}=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{e^{x·\ln \left(n\right)}}{e^{n·\ln \left(x\right)}}=\underset{n\to +\infty }{lim}{e}^{x·\ln \left(n\right)-n·\ln \left(x\right)}=e^{\underset{n\to +\infty }{lim}\mathrm{nx}·[\frac{\ln \left(n\right)}{n}-\frac{\ln \left(x\right)}{x}]}=e^{\underset{n\to +\infty }{lim}\mathrm{nx}·\underset{n\to \infty }{lim}[\frac{\ln \left(n\right)}{n},-\frac{\ln \left(x\right)}{x}]}=e^{-\infty ·\ln \left(x\right)}$ che è uguale a zero se x>1.

Inoltre $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{n^x}{n^2+x^n}·\frac{x^n}{n^x}=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{x^n}{n^2+x^n}=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{1+\frac{n^2}{x^n}}=\frac{1}{1+\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{2n}{x^n\ln x}}=\frac{1}{1+\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{2}{x^n{\ln }^{2}x}}=1$ se x>1

Se x=1 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{n^2+1}\approx \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ che non converge.

Se 0<x<1 $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{n^x}{n^2+x^n}\approx \underset{n\to +\infty }{lim}\frac{n^x}{n^2}=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^{2-x}}=0$ se 2 - x > 0 ⇒x < 2 ma è vero perchè 0 < x < 1

Se x<0 il temine della serie diventa $\frac{1}{n^{\mid x\mid }·(n^2+{\mid x\mid }^n)}$ e per qualunque x < 0 : $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^{\mid x\mid }(n^2+{\mid x\mid }^n)}=0$ ed è soddisfatta la condizione necessaria.

Quindi la serie non converge per x= -1

Se $\mid \overline{x}\mid <1$ , poichè $\frac{n^{\overline{x}}}{n^2+{\mid \overline{x}\mid }^n}\le \frac{n^{\overline{x}}}{n^2}\Rightarrow \frac{n^{\overline{x}}}{n^2+{\mid \overline{x}\mid }^n}\le \frac{1}{n^{2-\overline{x}}}$ . Poichè l'esponente della serie numerica $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2-\overline{x}}}$ è maggiore di 1 allora, per il Criterio di Weierstrass, la serie converge totalmente all'interno dell'intervallo ]-1,1] e quindi anche all'interno dell'intervallo [½,+½] . La convergenza totale implica quella uniforme.