N. 10 SERIE DI FUNZIONI

Studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale della serie di funzioni:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} (1 + n^{2} x^{2})}$

È una serie a termini positivi.

La condizione necessaria è soddisfatta ∀x∈ℝ:

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2} (1 + n^{2} x^{2})} = 0$

Per avere una condizione sufficiente si può osservare che :

$\frac{1}{n^{2} (1 + n^{2} x^{2})} \leq \frac{1}{n^{2}}$

e poichè $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ converge, allora, per il Criterio di Weierstrass la serie converge totalmente in ℝ e quindi anche uniformemente e puntualmente.


I termini della serie fino n= 100 (verde) e le somme parziali fino a n= 10 (blu) , n= 50 (rosso) e n=100 (nero)