$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(x+1\right)}^n}{(2^n+n)x^n}$

Se x=0 i termini della serie non sono definiti

Se x>0 consideriamo il limite: $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{{\left(x+1\right)}^n}{(2^n+n)x^n}=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{2^n+n}·{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^n$

Si può notare che il limite dipende se x è maggiore, uguale o minore di uno.

Se x> 1 allora $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{2^n+n}·{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^n=0$ e la condizione è soddisfatta

Se x=1 si ha $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{2^n+n}·{\left(1+\frac{1}{1}\right)}^n=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{2^n}{2^n+n}=1$ e non è soddisfatta la condizione necessaria

Se 0<x<1 si ha $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{2^n+n}·{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^n=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{c^n}{2^n+n}=+\infty$ con c>2 e non è soddisfatta la condizione necessaria

Se x<0 la serie diventa a termini alterni: $\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{{\left(1-\mid x\mid \right)}^n}{(2^n+n){\mid x\mid }^n}$