$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^2{e}^{-n\mid x\mid }$   

Se x= 0 il termine n-esimo diventa: $f_n\left(0\right)=0$ , da cui $\underset{n\to \infty }{lim}{f}_n\left(0\right)=0$ e la serie converge (perchè si annulla) .

Se x> 0 , il limite $\underset{n\to +\infty }{lim}{x}^2{e}^{-n\mid x\mid }=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{x^2}{e^{n\mid x\mid }}=0$ ed è soddisfatta la condizione necessaria.

Se x<0, il limite $\underset{n\to +\infty }{lim}{x}^2{e}^{-n\mid x\mid }=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{x^2}{e^{n\mid x\mid }}=0$ed è soddisfatta la conzione necessaria.

Se x≠ 0 osserviamo che il $\underset{n\to \infty }{lim}{n}^2{x}^2{e}^{-n\mid x\mid }$= 0 ( è un limite notevole)

Quindi da un certo punto in poi $n^2·x^2{e}^{-n\mid x\mid }<1\to x^2{e}^{-n\mid x\mid }<\frac{1}{n^2}$.

Poichè la serie armonica $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ converge, per il criterio di Weierstrass, anche la serie $\sum _{n=0}^{\infty }{x}^2{e}^{-n\mid x\mid }$converge totalmente e quindi anche uniformemente e puntualmente per x≠0.