$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{e^{-n\mid x\mid }}{1+nx}$   

Se x= 0 il termine n-esimo diventa: $f_n\left(0\right)=1$ , da cui $\underset{n\to \infty }{lim}{f}_n\left(0\right)=1$ e la serie non converge.

Se x> 0 , il limite $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{e^{-\mathrm{nx}}}{1+\mathrm{nx}}=0$ ed è soddisfatta la condizione necessaria.

Se x<0, il limite $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{e^{-n\mid x\mid }}{1-n\mid x\mid }=0$ ed è soddisfatta la conzione necessaria.

Se x> 0 vediamo se il $\underset{n\to \infty }{lim}{n}^2\frac{e^{-nx}}{1+nx}$= 0 . Applicando il criterio del rapporto per la convergenza delle successioni si ha:

$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(n+1\right)}^2·\frac{e^{-\left(n+1\right)x}}{1+\left(n+1\right)x}·\frac{1+nx}{n^2{e}^{-nx}}=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2\frac{1+nx}{1+nx+x}·e^{-x}=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2·\frac{1}{1+\frac{x}{1+nx}}·e^{-x}=e^{-x}<1$

Quindi da un certo punto in poi $n^2·\frac{e^{-nx}}{1+nx}<1\to \frac{e^{-nx}}{1+nx}<\frac{1}{n^2}$.

Poichè la serie armonica $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ converge, per il criterio di Weierstrass, anche la serie $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{e^{-nx}}{1+nx}$ converge totalmente e quindi anche uniformemente e puntualmente per x>0.

Se x <0 a serie può essere scritta nella forma: $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{e^{-n\mid x\mid }}{1-n\mid x\mid }$ e in questo caso ci saranno infiniti punti di discontinuità prodotti dalla condizione: $1-n\mid x\mid =0\to x=\frac{1}{n}$ che tenderanno ad accumularsi verso lo zero da sinistra.

La serie non converge a nessuna funzione finita.