$\sum _{n=1}^{\infty }{e}^{\frac{n}{x}}·\ln \left(1+\frac{x}{n^2}\right)$

Verifichiamo la condizione necessaria.

Se x=0 il termine n-esimo diventa non definito e la serie non può convergere

Se x>0 poichè: :

$\underset{n\to \infty }{lim}{e}^{\frac{n}{x}}·\ln \left(1+\frac{x}{n^2}\right)=\underset{t\to 0^{+}}{lim}{e}^{\frac{1}{x·t}}·\ln \left(1+x·t^2\right)=\underset{t\to 0^{+}}{lim}{e}^{\frac{1}{x·t}}·{xt}^2·\frac{\ln \left(1+x{t}^2\right)}{x{t}^2}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}{e}^{\frac{1}{x·t}}·e^{\ln t^2}·x·\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{\ln \left(1+x{t}^2\right)}{x{t}^2}=\underset{t\to 0^{+}}{lim}{e}^{\frac{1+2x·t·\ln t}{xt}}·1=+\infty$

(dove si è fatto uso dei limiti notevoli:

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^n·\ln x=0$    (n>0)  e      $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$ )

non è soddisfatta la condizione necessaria e quindi la serie data non converge.

Se x<0 bisogna considerare che possono esserci termini infiniti nelle somme parziali a causa della presenza del logaritmo. Anzi il primo termine, $e^{\frac{1}{\overline{x}}}·\ln \left(1+x\right)$ è definito per -1<x<0. Quindi in generale si può parlare di eventuale convergenza per -1<x<0.

Allora se -1<x<0 , $\underset{n\to \infty }{lim}{e}^{\frac{n}{x}}·\ln \left(1+\frac{x}{n^2}\right)=0$ ed è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza puntuale.

Ora consideriamo il limite:

$\underset{n\to \infty }{lim}{n}^2·e^{\frac{n}{x}}·\ln \left(1+\frac{x}{n^2}\right)=\underset{n\to \infty }{lim}{e}^{\frac{n}{x}}·\underset{t\to 0^{+}}{lim}\frac{\ln \left(1-\mid x\mid t^2\right)}{\mid x\mid t^2}·\mid x\mid =\underset{n\to \infty }{lim}{e}^{\frac{n}{\overline{x}}}·\mid x\mid ·\ln \left[\underset{t\to 0^{+}}{lim}{\left(1-\mid x\mid t^2\right)}^{\frac{1}{\mid x\mid t^2}}\right]=\underset{n\to \infty }{lim}{e}^{\frac{n}{\overline{x}}}·\mid x\mid ·\ln \left(\frac{1}{e}\right)=0$

( dove si è fatto uso del limite notevole: $\underset{x\to 0}{lim}{\left(1-x\right)}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e}$)

Quindi da un certo punto in poi $n^2·e^{\frac{n}{\overline{x}}}·\ln \left(1+\frac{x}{n^2}\right)<1\to e^{\frac{n}{\overline{x}}}·\ln \left(1+\frac{x}{n^2}\right)<\frac{1}{n^2}$.

Poichè la serie armonica $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ converge, per il criterio di Weierstrass, anche la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{e}^{\frac{n}{x}}·\ln \left(1+\frac{x}{n^2}\right)$ converge totalmente (e quindi anche uniformemente) per -1<x<0

Nel grafico i termini della serie e le somme parziali fino n=10 (arancio) , n= 100 (nero), n=250 (blu) e n=500 (rosso)

Nel grafico le somme parziali per x<0 per n=10, n=100 e n= 250 (indistinguibili perchè sovrapposte)