$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^4{e}^{-n{x}^2}$

Verifichiamo la condizione necessaria.

Se x=0 la serie si annulla.

Se x≠0 , il $\underset{n\to +\infty }{lim}{x}^4{e}^{-n{x}^2}=x^4\underset{n\to +\infty }{lim}{e}^{-n{x}^2}=0$ ed è verficata la condizione necessaria.

Consideriamo ora il limite:

$\underset{n\to \infty }{lim}{n}^2{x}^4{e}^{-n{x}^2}=\underset{n\to \infty }{lim}{\left(n{x}^2\right)}^2{e}^{-\left(n{x}^2\right)}=0$

(dove si è fatto uso del limite notevole: $\underset{n\to \infty }{lim}{x}^{\alpha }{e}^{-x}=0$ con α>0).

Quindi, da un certo punto in poi,: $n^2{x}^4{e}^{-n{x}^2}<1\to x^4{e}^{-n{x}^2}<\frac{1}{n^2}$

Poichè la serie armonica $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ converge, per il criterio di Weierstrass, la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{x}^4{e}^{-n{x}^2}$ converge totalmente per x≠ 0 e quindi anche uniformemente.