N. 6 SERIE DI FUNZIONI

Studiare, al variare di x∈ℝ\{0} la convergenza semplice e uniforme della serie di funzioni:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{\frac{x}{n}} + e^{\frac{n}{x}}}{n^{2}}$

Verifichiamo la condizione necessaria.

Se x=0 il temini della serie non sono definiti.

Se x>0

$lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{n}} + e^{\frac{n}{x}}}{n^{2}} = lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{n}}}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{n}{x}}}{n^{2}} = 0 + \infty = + \infty$

(dove si è fatto uso del limite notevole $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{α}} = + \infty$ ) e non è soddisfatta la condizione necessaria e quindi la serie data non converge.

Se x<0

$lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{n}} + e^{\frac{n}{x}}}{n^{2}} = lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{n}}}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{n}{x}}}{n^{2}} = 0 + 0 = 0$

è verificata la condizione necessaria.

Infine se x < 0 , poichè sia $e^{\frac{x}{n}} < 1$ che $e^{\frac{n}{x}} < 1$ si ha che $\frac{e^{\frac{x}{n}} + e^{\frac{n}{x}}}{n^{2}} < \frac{2}{n^{2}}$ , e poichè la serie armonica $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ converge, per il criterio di Weierstrass, anche la serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{\frac{x}{n}} + e^{\frac{n}{x}}}{n^{2}}$ converge totalmente (e uniformemente).


Le somme ridotte in x>0 con n= 50 (blu), n= 100 (celeste) ed n= 250 (rosso)
I termini della serie fino n= 250 (verde) e le somme ridotte per x<0 con n= 50, n= 100 e n=250 (quasi sovrapposte)